0

0/12

13 Differentialrechnung

0/12/4

13.4 Bestimmen von Grenzwerten nach L’Hospital

0/12/4/0

13.4.1 Regel von L’Hospital

• Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von L’Hospital : .
  $\left.\begin{array}{c}\hfill \underset{x\to x_0}{lim}\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)\hfill \\ \hfill oder\hfill \\ \hfill \underset{x\to \infty }{lim}\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right\}=\underset{\text{unbestimmte Ausdrücke}}{\underbrace{\frac{0}{0}\text{ oder }\frac{\infty }{\infty }}}\Rightarrow \text{Anwendung der Regel von }{L}^{\prime }Hospital$
• Regel von $L^{\prime }Hospital$:
  Wenn $\underset{x\to x_0}{lim}\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)=\frac{0}{0}\text{ oder }\frac{\infty }{\infty }$ .
  .
  dann ist .
  .
  $\underset{x\to x_0}{lim}\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\left(\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}\right)$ .
  .
  Dasselbe gilt für .
  .
  $\underset{x\to \infty }{lim}\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)=\frac{0}{0}\text{ oder }\frac{\infty }{\infty }$ .
  .
  $\Rightarrow \underset{x\to \infty }{lim}\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)=\underset{x\to \infty }{lim}\left(\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}\right)$ .
  .
  

  Bemerkung: .
  Die Regel von $L^{\prime }Hospital$ kann nur angewendet werden, wenn
  $\text{sowohl }lim{f}^{\prime }\left(x\right)\text{ als auch }lim{g}^{\prime }\left(x\right)\text{ exsitieren.}$ .