$\underset{x\to 1}{lim}{x}^{\frac{1}{x-1}}=1^{\infty }$

Rückblick: $a=e^{lna}$ .
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In unserem Fall ist .
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$a=x^{\frac{1}{x-1}}$ .
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$\Rightarrow x^{\frac{1}{x-1}}=e^{ln\left(x^{\frac{1}{x-1}}\right)}$ .
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Also suchen wir den Grenzwert .
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$\underset{x\to 1}{lim}{e}^{ln\left(x^{\frac{1}{x-1}}\right)}$ .
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Dafür bestimmen wir zuerst den Grenzwert .
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$\underset{x\to 1}{lim}ln\left(x^{\frac{1}{x-1}}\right)$ .
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Durch Anwenden der Logarithmusregel .
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$ln{a}^b=b\cdot lna$ .
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ergibt sich

Somit ist .
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$\underset{x\to 1}{lim}{e}^{ln\left(\frac{1}{x-1}\right)}=e^1=e$ .
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