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14 Einführung in die Integralrechnung

0/13/2

14.2 Integration

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14.2.4 Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

0/13/2/3/0

Vergrößert man die obere Grenze x im Integral $F\left(x\right)=\underset{a}{\overset{x}{\int \; <!--nolimits-->}}f\left(x\right)dx$ um $\Delta x$, so wächst der Flächeninhalt um $\Delta F=F\left(x+\Delta x\right)-F\left(x\right)$: .
0/13/2/3/1

0/13/2/3/2 .
Zwischen den Flächeninhalten besteht also die Beziehung .
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$f\left(x\right)\cdot \Delta x\le \Delta F\le f\left(x+\Delta x\right)\cdot \Delta x$, .
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und nach Division durch $\Delta x$: .
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$f\left(x\right)\le \frac{\Delta F}{\Delta x}\le f\left(x+\Delta x\right)$. .
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Bildet man den Grenzübergang $\Delta x\to 0$: .
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$\underset{\Delta x\to 0}{lim}f\left(x\right)\le \underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta F}{\Delta x}\le \underset{\Delta x\to 0}{lim}f\left(x+\Delta x\right)$, .
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so wird mit $\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta F}{\Delta x}=F^{\prime }\left(x\right)$ .
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und mit $\underset{\Delta x\to 0}{lim}f\left(x\right)=\underset{\Delta x\to 0}{lim}f\left(x+\Delta x\right)=f\left(x\right)$ : .
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$f\left(x\right)\le F^{\prime }\left(x\right)\le f\left(x\right)$ und damit $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$. .
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Dies führt zum Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung:
Jedes unbestimmte Integral $F\left(x\right)=\underset{a}{\overset{x}{\int \; <!--nolimits-->}}f\left(x\right)dx$ ist eine Stammfunktion zu $f\left(x\right)$: .
$F\left(x\right)=\underset{a}{\overset{x}{\int \; <!--nolimits-->}}f\left(x\right)dx\Rightarrow F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$ .
0/13/2/3/3 .
Beispiel 14 - 103
Gegeben sei die Funktion $f\left(x\right)=e^{\left(x+\frac{1}{x}\right)}$

1.

Bestimmen Sie $f^{\prime }\left(x\right)$

2.

Berechnen Sie $\int \; <!--nolimits-->f^{\prime }\left(x\right)\text{ d}x$

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