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14 Einführung in die Integralrechnung

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14.4 Integrationsmethoden

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14.4.1 Integration durch Substitution

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Versucht man, das Integral $\int \; <!--nolimits-->x\cdot cos\left(x^2\right)dx$ zu lösen, gelingt dies durch die Substitution mit einer Hilfsvariablen $u=x^2$. .
$u=x^2\Rightarrow \frac{du}{dx}=2x\Rightarrow dx=\frac{du}{2x}$. .
Ersetzt man nun $x^2$ und $dx$ im Integral durch $u$ bzw. $du$, so erhält man ein elementar lösbares Integral: .
$\int \; <!--nolimits-->x\cdot cos\left(x^2\right)dx=\int <!--nolimits-->x\cdot cosu\cdot \frac{du}{2x}=\frac{1}{2}\cdot \int \; <!--nolimits-->cosudu=\frac{1}{2}\cdot sinu+C$. .
Rücksubstitution ergibt: .
$\int \; <!--nolimits-->x\cdot cos\left(x^2\right)dx=\frac{1}{2}\cdot sin\left(x^2\right)+C$. .
Generelle Vorgehensweise:

1.

Aufstellung der Substitutionsgleichungen .
$u=g\left(x\right),\frac{du}{dx}=g^{\prime }\left(x\right),dx=\frac{du}{g^{\prime }\left(x\right)}$

2.

Durchführung der Substitution durch Einsetzen .
$\int \; <!--nolimits-->f\left(x\right)dx=\int \; <!--nolimits-->\phi \left(u\right)du$.

3.

Integration .
$\int \; <!--nolimits-->\phi \left(u\right)du=\Phi +C$.

4.

Rücksubstitution (s.o.)