$x=r\cdot sinu$ .
.
$\frac{x}{r}=sinu$ .
$u=arcsin\left(\frac{x}{r}\right)$ .
$dx=r\cdot cosudu$ .
$\sqrt{r^2-x^2}=r\cdot cosu$ .
$\int \; <!--nolimits-->\sqrt{r^2-x^2}dx=\int \; <!--nolimits-->r^2{cos}^{2}udu$ .
$=r^2\int <!--nolimits-->\frac{1}{2}\left(1+cos\left(2u\right)\right)du$ .
$=\frac{1}{2}{r}^2\left[\int <!--nolimits-->1du+\int <!--nolimits-->\left(cos\left(2u\right)\right)du\right]$ .
.
Substitution: $2u=v$ .
$\frac{dv}{du}=2$ .
$du=\frac{dv}{2}$: .
.

$\frac{1}{2}{r}^2[\int <!--nolimits-->1du+\int <!--nolimits-->\left(cos\left(2u\right)du\right]$ .
.
$=\frac{1}{2}{r}^2\left[u+\int <!--nolimits-->cosv\frac{dv}{2}\right]$ .
.
$=\frac{1}{2}{r}^2\left[u+\frac{1}{2}sinv\right]$ .
.
$=\frac{1}{2}{r}^2\left[arcsin\left(x\right)+\frac{1}{2}sin\left(2arcsin\left(x\right)\right)\right]$ .
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