0

0/13

14 Einführung in die Integralrechnung

0/13/4

14.4 Integrationsmethoden

0/13/4/1

14.4.2 Partielle Integration

0/13/4/1/0

Beim Integral $\int \; <!--nolimits-->f\left(x\right)$ wird $f\left(x\right)$ in ein Produkt aus

• einer Funktion $u\left(x\right)$ und
• der Ableitung $v^{\prime }\left(x\right)$ einer Funktion $v\left(x\right)$

zerlegt, d.h. $\int \; <!--nolimits-->f\left(x\right)\text{ d}x=\int \; <!--nolimits-->u\left(x\right)\cdot v^{\prime }\left(x\right)\text{ d}x$

Beispiel 14 - 1: .
$\int \; <!--nolimits-->\stackrel{\stackrel{u\left(x\right)}{\uparrow }}{x}\cdot \stackrel{v^{\prime }\left(x\right)}{\stackrel{\uparrow }{e^x}}\text{ d}x$

Dieses Integral lässt sich wie folgt darstellen: .
$\int \; <!--nolimits-->f\left(x\right)\text{ d}x=\int \; <!--nolimits-->u\left(x\right)\cdot v^{\prime }\left(x\right)\text{ d}x=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-\int <!--nolimits-->u^{\prime }\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\text{ d}x$

Das Verfahren ist hilfreich, wenn die Stammfunktion von $v^{\prime }\left(x\right)\Rightarrow v\left(x\right)$ einfach zu bestimmen ist. Dann ist das Integral $\int \; <!--nolimits-->u^{\prime }\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\text{ d}x$ elementar lösbar.

Erklärung:
$\int \; <!--nolimits-->u\left(x\right)\cdot v^{\prime }\left(x\right)\text{ d}x\stackrel{?}{=}u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-\int <!--nolimits-->u^{\prime }\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\text{ d}x$ . 

Nach der Produktregel für Ableitungen ist .
${\left[u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right]}^{\prime }=u^{\prime }\left(x\right)\cdot v\left(x\right)+u\left(x\right)\cdot v^{\prime }\left(x\right)$ $\Rightarrow u\left(x\right)\cdot v^{\prime }\left(x\right)={\left[u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right]}^{\prime }-u^{\prime }\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$ . 

Das ganze integriert ergibt .
$\Rightarrow \int \; <!--nolimits-->u\left(x\right)\cdot v^{\prime }\left(x\right)\text{ d}x=\int <!--nolimits-->{\left[u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right]}^{\prime }\text{ d}x-\int <!--nolimits-->u^{\prime }\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\text{ d}x$ . 

Aus der Beziehung zwischen Differential- und Integralrechnung
$\int \; <!--nolimits-->F^{\prime }\left(x\right)\text{ d}x=F\left(x\right)$ . 

folgt .
$\int \; <!--nolimits-->u\left(x\right)\cdot v^{\prime }\left(x\right)\text{ d}x=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-\int <!--nolimits-->u^{\prime }\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\text{ d}x$ . 

Analog: .
$\int \; <!--nolimits-->u^{\prime }\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\text{ d}x=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-\int <!--nolimits-->u\left(x\right)\cdot v^{\prime }\left(x\right)\text{ d}x$

Vorgehensweise

1.

Bestimmen von $u\left(x\right)$ und $v^{\prime }\left(x\right)$

2.

Berechnen von $u^{\prime }\left(x\right)$ und $v\left(x\right)$

3.

$u\left(x\right),u^{\prime }\left(x\right),v\left(x\right),v^{\prime }\left(x\right)$ in .
$\int \; <!--nolimits-->u\left(x\right)\cdot v^{\prime }\left(x\right)\text{ d}x=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-\int <!--nolimits-->u^{\prime }\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\text{ d}x$ .
einsetzen und ausrechnen.

Beispiel 14 - 2: .
$\int \; <!--nolimits-->x\cdot e^x\text{ d}x$ .
Schritte: .

1.

$u\left(x\right)$	=	$x$
$v^{\prime }\left(x\right)$	=	$e^x$

2.

$u^{\prime }\left(x\right)$	=	$1$
$v\left(x\right)$	=	$e^x$

3.

$u\left(x\right),u^{\prime }\left(x\right),v\left(x\right),v^{\prime }\left(x\right)$ in . 

$\int \; <!--nolimits-->u\left(x\right)\cdot v^{\prime }\left(x\right)\text{ d}x=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-\int <!--nolimits-->u^{\prime }\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\text{ d}x$ . 

einsetzen und ausrechnen.
$\int \; <!--nolimits-->x\cdot e^x\text{ d}x=x\cdot e^x-\int <!--nolimits-->e^x\text{ d}x=x\cdot e^x-e^x+C=e^x\left(x-1\right)+C$ .