Teil 1:

• . .
  

  $u\left(x\right)$	=	$x^2$
  $v^{\prime }\left(x\right)$	=	$sinx$

• . .
  

  $u^{\prime }\left(x\right)$	=	$2x$
  $v\left(x\right)$	=	$-cosx$

• . .
  $u\left(x\right),u^{\prime }\left(x\right),v\left(x\right),v^{\prime }\left(x\right)$ 
  in .
  $\int \; <!--nolimits-->u\left(x\right)\cdot v^{\prime }\left(x\right)\text{ d}x=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-\int <!--nolimits-->u^{\prime }\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\text{ d}x$
  einsetzen und ausrechnen.
  
  $\int x^2\cdot \sin x\text{ d}x=x^2\cdot \left(-\cos x\right)-\int 2x\left(-\cos x\right)\text{ d}x=x^2\cdot \left(-\cos x\right)+2\cdot \int x\cdot \cos x\text{ dx}$
  
  Wir müssen nun nochmals die Methode der partiellen Integration anwenden, um .
  $2\cdot \int \; <!--nolimits-->x\cdot cosx\text{ d}x$
  
  auszurechnen.Dies erfolgt in

Teil 2:

• . .
  

  $u\left(x\right)$	=	$x$
  $v^{\prime }\left(x\right)$	=	$cosx$

• .
  

  $u^{\prime }\left(x\right)$	=	$1$
  $v\left(x\right)$	=	$sinx$

•  .
  $u\left(x\right),u^{\prime }\left(x\right),v\left(x\right),v^{\prime }\left(x\right)$
  
  in .
  
  $\int \; <!--nolimits-->u\left(x\right)\cdot v^{\prime }\left(x\right)\text{ d}x=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-\int <!--nolimits-->u^{\prime }\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\text{ d}x$ .
  
  $2\cdot \int \; <!--nolimits-->x\cdot cosx\text{ d}x=2\cdot \left(x\cdot sinx-\int \; <!--nolimits-->sinx\text{ d}x\right)$ .
  
  $=2\cdot \left(x\cdot sinx\right)-2\cdot \int \; <!--nolimits-->sinx\text{ d}x$ .
  
  $=2\cdot \left(x\cdot sinx\right)-2\cdot \left(-cosx+C_1\right)$ .
  
  $=2\cdot \left(x\cdot sinx\right)+2\cdot cosx+C$ .
  
  $=2\cdot \left(x\cdot sinx+cosx\right)+C$ .
  
  Die unterschiedlichen Bezeichner für die Integrationskonstanten $\left(C=2\cdot C_1\right)$
  
  sind irrelevant, da eine Konstante multipliziert mit einem beliebigen (ebenfalls konstanten) Faktor ebenso eine Konstante ergibt.
  .
  $\Rightarrow \stackrel{\text{Teil 1}}{\overbrace{\int \; <!--nolimits-->sinx\cdot x^2\text{ d}x=x^2\cdot \left(-cosx\right)}}+\underset{\text{Teil 2}}{\underbrace{2\cdot \left(x\cdot sinx+cosx\right)+C}}$