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Beispiel 14 - 121
Zur Integration der unecht gebrochenrationalen Funktion .
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\int f (x) d x = \int \frac{2 x^{3} - 14 x^{2} + 14 x + 30}{x^{2} - 4} d x

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wird die Funktion zunächst zerlegt in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion (z.B. mittels des Horner-Schemas) und anschließend die echt gebrochenrationale Funktion mittels Partialbruchzerlegung weiter zerlegt. .

f (x) = \frac{2 x^{3} - 14 x^{2} + 14 x + 30}{x^{2} - 4} = 2 x - 14 + \frac{22 x - 26}{x^{2} - 4}

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r (x) = \frac{22 x - 26}{x^{2} - 4}

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Partialbrüche für die Nullstellen des Nenners: .
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x_{1} = 2

(einfache Nullstelle)

\to \frac{A}{x - 2}

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x_{2} = - 2

(einfache Nullstelle)

\to \frac{B}{x + 2}

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r (x) = \frac{22 x - 26}{x^{2} - 4}

= \frac{22 x - 26}{(x - 2) (x + 2)} =

= \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}

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22 x - 26 = A (x + 2) + B (x - 2)

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x = 2 \Rightarrow 18 = 4 A \Rightarrow A = 4, 5

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x = - 2 \Rightarrow - 70 = - 4 B \Rightarrow B = 17, 5

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= \frac{22 x - 26}{(x - 2) (x + 2)} =

= \frac{4, 5}{x - 2} + \frac{17, 5}{x + 2}

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\int \frac{2 x^{3} - 14 x^{2} + 14 x + 30}{x^{2} - 4} d x

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= \int (2 x - 14) d x + \int \frac{22 x - 26}{(x - 2) (x + 2)}

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= x^{2} - 14 x + C_{1} + \int (\frac{4, 5}{x - 2} + \frac{17, 5}{x + 2}) d x

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= x^{2} - 14 x + 4, 5 \cdot ln | x - 2 | + 17, 5 \cdot ln | x + 2 | + C_{2}

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14 Einführung in die Integralrechnung

14.4 Integrationsmethoden

14.4.3 Integration durch Partialbruchzerlegung