0/13/5/0/8 .
Beispiel 14 - 125
Alternative Berechnung: Wir zerteilen das Dreieck (willkürlich) in lauter waagrechte kleine Stäbchen mit der Fläche

d A = x \cdot d y

. .
Hiermit sind die Integralgrenzen vorgegeben zwischen 0 und h. .
Der Schwerpunkt eines einzelnen Stäbchens liegt bei

\tilde{x} = \frac{x}{2}

. Damit erhält man einen Ausdruck für den Schwerpunkt des Dreiecks: .

x_{s} = \frac{\int \tilde{x} d A}{\int d A} = \frac{\int \frac{x}{2} d A}{\int d A}

.
.
.
.

Mit

x = b - \frac{b}{h} \cdot y

wird daraus:

d A = x \cdot d y

= (b - \frac{b}{h} \cdot y) d y

, .
eingesetzt in die Integraldarstellung der Schwerpunktsformel: .
.

x_{s} = \frac{\int_{0}^{h} \frac{x}{2} \cdot (\frac{b}{h} \cdot y + b) d y}{\int_{0}^{b} (\frac{- b}{h} \cdot y + b) d y}

$= \frac{\int_{0}^{h} \frac{1}{2} \cdot (\frac{- b}{h} y + b) \cdot (\frac{- b}{h} y + b) d y}{\int_{0}^{b} (\frac{- b}{h} \cdot y + b) d y}$ $= \frac{\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{h} (\frac{b^{2}}{h^{2}} y^{2} - \frac{2 b^{2}}{h} \cdot y + b^{2}) d y}{{(\frac{- b y^{2}}{2 h} + b y)|}_{0}^{h}}$

$= \frac{{\frac{1}{2} (\frac{b^{2} y^{3}}{3 h^{2}} - \frac{b^{2} y^{2}}{h} + b^{2} y)|}_{0}^{h}}{{(\frac{b h}{2} - b h)|}_{0}^{h}}$

$= \frac{\frac{1}{2} (- \frac{b^{2} h}{3} - b^{2} h + b^{2} h)}{- \frac{b h}{2}}$ $= \frac{\frac{b h^{2}}{3}}{- b h}$ $= \frac{- b^{2} h}{3 b h}$ $= - \frac{b}{3}$ .
.
Dies ist natürlich das gleiche Ergebnis wie vor. .

14 Einführung in die Integralrechnung

14.5 Beispiele

14.5.1 Bestimmung des Flächenschwerpunkts