0/13

14 Einführung in die Integralrechnung

0/13/5

14.5 Beispiele

0/13/5/0

14.5.1 Bestimmung des Flächenschwerpunkts

0/13/5/0/12 .
Beispiel 14 - 127
Berechnung des Schwerpunkts eines Viertelkreises: .
Bleibt man hier in der Darstellung kartesischer Koordinaten, wird die Berechnung wesentlich aufwendiger, wie das Beispiel für die y-Koordinate zeigt: .

Abbildung 1: Schwerpunkt eines Viertelkreises

$x^{2} + y^{2} = R^{2}$ .
$\Rightarrow d A = x d y$ .
$\Rightarrow d A = \sqrt{r^{2} - y^{2}} d y$ .

$y_{s} = \frac{\int_{0}^{R} ỹ d A}{\int_{0}^{R} d A} = \frac{\int_{0}^{R} y \cdot \sqrt{R^{2} - y^{2}} d y}{\int_{0}^{R} \sqrt{R^{2} - y^{2}} d y} = \frac{{- \frac{1}{3} {(R^{2} - y^{2})}^{\frac{3}{2}}|}_{0}^{R}}{{\frac{1}{2} [y \sqrt{R^{2} - y^{2}} + R^{2} a r c s i n (\frac{y}{R})]|}_{0}^{R}}$ .
.
Eine alternative Berechnung geht wie folgt: Wir zerteilen den Kreisbogen (willkürlich) in lauter kleine Kreissegmente $d L = R \cdot d φ$ . .
Hier sind die Integralgrenzen einfach angebbar, sie liegen zwischen $0$ und $\frac{π}{2}$ . .
Haben wir die Schwerpunkte der einzelnen kreissegmente, können wir den Schwerpunkt des Viertelkreises daraus bestimmen. .

Abbildung 2: Schwerpunkt eines Viertelkreises

.
Der Schwerpunkt eines einzelnen Stückchens liegt bei $\tilde{x} = R \cdot cos φ$ bzw. $ỹ = R \cdot sin φ$ . Damit erhält man einen Ausdruck für den Schwerpunkt eines Viertelkreisbogens: .
.

$x_{s} = \frac{\int_{L} \tilde{x} d L}{\int_{L} d L} = \frac{\int_{0}^{\frac{π}{2}} R \cdot cos φ \cdot R d φ}{\int_{0}^{\frac{π}{2}} R d φ} = \frac{{R^{2} sin φ|}_{0}^{\frac{π}{2}}}{{R \cdot φ|}_{0}^{\frac{π}{2}}} = \frac{2 R}{π}$

Analog $y_{s}$ : .
$y_{s} = \frac{\int_{L} ỹ d L}{\int_{L} d L} = \frac{\int_{0}^{\frac{π}{2}} R \cdot sin φ \cdot R d φ}{\int_{0}^{\frac{π}{2}} R d φ} = \frac{{- R^{2} cos φ|}_{0}^{\frac{π}{2}}}{{R \cdot φ|}_{0}^{\frac{π}{2}}} = \frac{2 R}{π}$