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15 Reelle Matrizen

0/14/1

15.1 Einstieg: Lineare Gleichungssysteme

0/14/1/1

15.1.2 Einige Beispiele zum Einstieg

0/14/1/1/5 .
Beispiel 15 - 128
Gegeben sind die drei (zu bestimmenden) Mengen $x_1$, $x_2$ und $x_3$ eines Weins mit dem Alkoholgehalt $A_1=8$ Vol %, $A_2=12$ Vol % und $A_3=15$ Vol % , die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge $M$ und einem Gesamt-Alkoholgehalt $A=12$ Vol %.
($1.267l$ Alkohol entspricht $1kg$; auf der linken und rechten Seite steht aber die gleiche Einheit. Deshalb kann sie weggelassen werden.)
Gleichzeitig haben die Weine Säuregehalte von $S_1=3g∕l$, $S_2=9g∕l$ und $S_3=5g∕l$,die zusammengemischt den Ziel-Gesamtsäuregehalt $G=6g∕l$ haben sollen. .

Die Gleichungen dieses Systems lauten:

$x_1$	+	$x_2$	+	$x_3$	=	$M$
$A_1\cdot x_1$	+	$A_2\cdot x_2$	+	$A_3\cdot x_3$	=	$A\cdot M$
$S_1\cdot x_1$	+	$S_2\cdot x_2$	+	$S_3\cdot x_3$	=	$S\cdot M$

,
in Zahlen:

$x_1$	+	$x_2$	+	$x_3$	=	$M$
$0.08\cdot x_1$	+	$0.12\cdot x_2$	+	$0.15\cdot x_3$	=	$0.12\cdot M$
$0.10\cdot x_1$	+	$0.01\cdot x_2$	+	$0.12\cdot x_3$	=	$0.09\cdot M$

,

Lösung mit Sage:

Lösung mit Maxima: .
$eq1:x1+x2+x3=M;$ .
$eq2:0.08*x1+0.12*x2+0.15*x3=0.12*M$ .
$eq3:0.03*x1+0.09*x2+0.05*x3=0.06*M$ .
$algsys\left(\left[eq1,eq2,eq3\right],\left[x1,x2,x3,M\right]\right)$ .
ergibt :
$\left[\left[x1=\%r1,x2=\frac{13\%r1}{9},x3=\frac{4\%r1}{3},M=\frac{34\%r1}{9}\right]\right]$ .

Lösung mit Maple:
restart;
eq1 := x1+x2+x3 = M;
eq2 := 0.08*x1+0.12*x2+0.15*x3 = 0.12*M;
eq3 := 0.03*x1+0.09*x2+0.05*x3 = 0.06*M;
solve({eq1, eq2,eq3}, {x1, x2,x3,M})
ergibt :
$\{M=\frac{34}{9}\cdot x_1$ ;
$x_1=x_1$ ;
$x_2=\frac{13}{9}\cdot x_1$ ;
$x_3=\frac{4}{3}\cdot x_1\}$;
Die Lösung sagt gleichzeitig, dass man für die Zielzusammensetzung alle drei Weine benötigt. .

.