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15 Reelle Matrizen

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15.4 Gauß’scher Algorithmus

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15.4.1 Darstellung in Matrixform

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$- x$	$+ y$	$+ z$	$=$	$0$			umbilden in Matrix:
$x$	$- 3 y$	$- 2 z$	$=$	$5$	$\Rightarrow$	1. Spalte: $x$ ,	2. Spalte: $y$
$5 x$	$+ y$	$+ 4 z$	$=$	$3$		3. Spalte: $z$ ,	4. Spalte: Konstante

$\Rightarrow$

$- 1$	$+ 1$	$+ 1$	$0$
$1$	$- 3$	$- 2$	$5$
$5$	$1$	$4$	$3$

.
Das lineare Gleichungssystem kann geschrieben werden als $A \cdot \vec{x} = \vec{c}$ . .
Koeffizienten: $a_{i k}$
Absolutglieder (Konstanten): $c_{i}$

$A \cdot \vec{x} = \vec{c} \Rightarrow$

$a_{11} \cdot x_{1}$	$+ a_{12} \cdot x_{2}$	$+ a_{13} \cdot x_{3}$	$+ \dots$	$+ a_{1 n} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{1}$
$a_{21} \cdot x_{1}$	$+ a_{22} \cdot x_{2}$	$+ a_{23} \cdot x_{3}$	$+ \dots$	$+ a_{2 n} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{2}$
$a_{31} \cdot x_{1}$	$+ a_{32} \cdot x_{2}$	$+ a_{33} \cdot x_{3}$	$+ \dots$	$+ a_{3 n} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{3}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$ $⋮$ $⋮$	$⋮$		$⋮$

$\Rightarrow$	$A \cdot \vec{x}$	$=$	$\vec{c}$	mit $\vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \end{matrix})$	und $\vec{c} = (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \\ ⋮ \end{matrix})$

Entsprechend verfolgt jetzt der Gaußsche Algorithmus das Ziel, über äquivalente Umformungen die Matrix $A$ in ein gestaffeltes System (Dreiecksform) zu bringen durch die Schritte:

1.: Vertauschen von Zeilen
2.: Multiplikation mit einem Faktor $\neq 0$
3.: Addition eines Vielfachen einer anderen Zeile