0/15

16 Determinanten

0/15/0

16.1 Einstieg

0/15/0/0

16.1.1 zweireihige Determinanten

0/15/0/0/0

$2 \times 2$ Gleichungssysteme $A \cdot \vec{x} = \vec{c}$ können wie folgt umgeformt werden:

$a_{11} x_{1}$	$+ a_{12} x_{2}$	$=$	$c_{1}$	$\cdot a_{22}$
$a_{21} x_{1}$	$+ a_{22} x_{2}$	$=$	$c_{2}$	$\cdot (- a_{12})$

\begin{matrix} a_{11} \cdot a_{22} \cdot x_{1} + a_{12} \cdot a_{22} \cdot x_{2} = c_{1} \cdot a_{22} \\ - a_{12} \cdot a_{21} \cdot x_{1} - a_{12} \cdot a_{22} \cdot x_{2} = - c_{2} \cdot a_{12} \end{matrix}}

\Rightarrow

a_{11} a_{22} \cdot x_{1} - a_{12} a_{21} \cdot x_{1} = c_{1} \cdot a_{22} - c_{2} \cdot a_{12}

(a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}) x_{1} = c_{1} \cdot a_{22} - c_{2} \cdot a_{12}

\Rightarrow x_{1} = \frac{c_{1} \cdot a_{22} - c_{2} \cdot a_{12}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}

,

analog:

\Rightarrow x_{2} = \frac{c_{2} \cdot a_{11} - c_{1} \cdot a_{21}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}} \Rightarrow

Beide Nenner sind gleich.
.
Bildet man aus der Koeffizientenmatrix .

$A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} |$ den Wert $D = a_{11} \cdot a_{22} - a_{21} \cdot a_{12}$ ,
.
hat man die Koeffizientendeterminante der Matrix $A$ bestimmt.

Da die Koeffizientenmatrix eine $2 x 2$ -Matrix ist, spricht man von einer

2-reihigen Koeffizientendeterminanten oder Koeffizientendeterminanten 2. Ordnung.

Ist der Wert der Determinanten $D = 0$ , so hat das Gleichungssystem keine

(bzw. bei einem homogenen Gleichungssystem unendlich viele) Lösung(en). .

Determinanten lassen sich nur für quadratische Matrizen

(d.h. die Matrix hat genau so viele Zeilen wie Spalten) angeben. .

Rechenregel zur Bestimmung einer $2 x 2$ -Determinanten: .

$D = d e t A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} |$ = $| A | = | a_{i k} |$
.

Die Determinante erhält man, indem man das Produkt der Hauptdiagonal-Elemente bildet und davon das Produkt der Nebendiagonal-Elemente subtrahiert:

$d e t A = \det (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})$ $= a_{11} \cdot a_{22} - a_{21} \cdot a_{12}$
.
Beispiel 16 - 1:

$det A = |\begin{matrix} 5 & 3 \\ - 10 & - 6 \end{matrix}| = - 30 + 30 = 0$ .