0

0/15

16 Determinanten

0/15/0

16.1 Einstieg

0/15/0/1

16.1.2 allgemeine Rechenregeln für Determinanten

Die hier aufgeführten Rechenregeln gelten auch für Determinanten höherer Ordnung:

1.

Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man Zeilen und Spalten vertauscht

2.

Beim Vertauschen zweier Zeilen (bzw. Spalten) ändert sich das Vorzeichen

3.

Multlipliziert man eine Zeile (bzw Spalte) mit $\lambda$, dann multipliziert sich die Determinante
mit $\lambda$

4.

Eine Determinante besitzt den Wert $0$, wenn

(a)

alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) Null sind

(b)

Zwei Zeilen (oder Spalten) gleich sind

(c)

Zwei Zeilen (oder Spalten) zueinander proportional sind

(d)

Eine Zeile (oder Spalte) als Linearkombination der übrigen Zeilen (oder Spalten) darstellbar ist.

5.

Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) das Vielfache einer anderen Zeile (oder Spalte) addiert.

6.

$det\left(A\cdot B\right)=detA\cdot detB$

7.

Dreiecksmatrizen

$A_{△}=\left(\begin{array}{cccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill a_{13}\hfill & \hfill \dots \hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill a_{23}\hfill & \hfill \dots \hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill a_{33}\hfill & \hfill \dots \hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \ddots \hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)$
.

haben als Determinante das Produkt der Hauptdiagonalen
$det{A}_{△}=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot \dots =\prod ^i{a}_{ii}$

Beispiel 16 - 1:

1.

Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man Zeilen und Spalten vertauscht: .

$det{A}^T=detA$
$$
$detA=\left|\begin{array}{cc}\hfill 8\hfill & \hfill 5\hfill \\ \hfill -3\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|=16+15=31$ .
.
$det{A}^T=\left|\begin{array}{cc}\hfill 8\hfill & \hfill -3\hfill \\ \hfill 5\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|=16+15=31$
$$ .

2.

Beim Vertauschen zweier Zeilen (bzw. Spalten) ändert sich das Vorzeichen: .

$detA=\left|\begin{array}{cc}\hfill 7\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill 4\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|=-7-12=-19$
$$
$det{A}^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}\hfill 4\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 7\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|=12+7=19$ .

3.

Multlipliziert man eine Zeile (bzw Spalte) mit $\lambda$, dann multipliziert sich die Determinante
mit $\lambda$ : .
$detA=\left|\begin{array}{cc}\hfill 2\cdot 5\hfill & \hfill 2\cdot 5\hfill \\ \hfill -3\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|=20+30=50=2\cdot 25=2\cdot \left|\begin{array}{cc}\hfill 5\hfill & \hfill 5\hfill \\ \hfill -3\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|$
$$ .
.
$↯$ (Achtung! Nicht verwechseln mit der (Skalar-)Multiplikation bei Matrizen/Vektoren!)

4.

Eine Determinante besitzt den Wert $0$, wenn

(a)

alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) Null sind

(b)

Zwei Zeilen (oder Spalten) gleich sind

(c)

Zwei Zeilen (oder Spalten) zueinander proportional sind

(d)

Eine Zeile (oder Spalte) als Linearkombination der übrigen Zeilen (oder Spalten) darstellbar ist: .

$detA=\left|\begin{array}{cc}\hfill 1\hfill & \hfill 5\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|=0$		$detB=\left|\begin{array}{cc}\hfill 4\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill 4\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|=0$		$detC=\left|\begin{array}{cc}\hfill 4\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 8\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|=0$

.

5.

Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) das Vielfache einer anderen Zeile (oder Spalte) addiert: .

$detA=\left|\begin{array}{cc}\hfill -6\hfill & \hfill 5\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|=-24-5=-29$
$$
Addition des 6-fachen von Zeile II zu Zeile I:

$detA=\left|\begin{array}{cc}\hfill 0\hfill & \hfill 29\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|=0-29=-29$
.

6.

$det\left(A\cdot B\right)=detA\cdot detB$ .

$A=\left(\begin{array}{cc}\hfill 1\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 5\hfill & \hfill -2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)$		$B=\left(\begin{array}{cc}\hfill -2\hfill & \hfill -3\hfill \\ \hfill 4\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)$

$$
$detA\cdot detB=\left(-22\right)\cdot \left(10\right)=-220$
$$
$det\left(A\cdot B\right)=\left|\begin{array}{cc}\hfill 14\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill -18\hfill & \hfill -17\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|=-220$
$$ .

7.

Dreiecksmatrizen haben als Determinante das Produkt der Hauptdiagonalen

$det{A}_{△}=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot \dots =\prod ^i{a}_{ii}$ : .

$detA=\left|\begin{array}{cc}\hfill 5\hfill & \hfill -4\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill -3\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|=5\cdot \left(-3\right)-0\cdot \left(-4\right)=5\cdot \left(-3\right)=-15$

.