0/15

16 Determinanten

0/15/1

16.2 Determinanten von Matrizen höherer Ordnung

0/15/1/0

16.2.1 Dreireihige Determinanten

0/15/1/0/0

Beispiel 16 - 1:
Gegeben sei ein $3 \times 3$ Gleichungssystem $A \cdot \vec{x} = \vec{c}$ ,
ausgeschrieben:

$a_{11} x_{1}$	$+ a_{12} x_{2}$	$+ a_{13} x_{3}$	$=$	$c_{1}$
$a_{21} x_{1}$	$+ a_{22} x_{2}$	$+ a_{23} x_{3}$	$=$	$c_{2}$
$a_{31} x_{1}$	$+ a_{32} x_{2}$	$+ a_{33} x_{3}$	$=$	$c_{3}$

Bildet man aus der Koeffizientenmatrix .

A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})

.
den Term

$D$	$=$	$a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}$	$+$	$a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}$	$+$	$a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}$	$-$
	$-$	$a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}$	$-$	$a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}$	$-$	$a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}$	,

.
.
hat man die Koeffizientendeterminante der Matrix

A

bestimmt.
Ist der Wert der Determinanten

D = 0

, so hat das Gleichungssystem keine (oder unendlich viele) Lösung(en).
Schreibweisen:

$D = \det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | = | A | = | a_{i k} |$
.

Man spricht hier von dreireihigen Determinanten oder Determinanten 3. Ordnung.

Als Merkregel für die Bestimmung der dreireihigen Determinante von $A$ kann man die Regel von Sarrus verwenden, indem man das Produkt der Hauptdiagonalen addiert und das Produkt der Nebendiagonalen subtrahiert:
( $↗$ = Nebendiagonale, $↖$ = Hauptdiagonale)

$D = det A = |\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} =$
.

$=$		$a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}$	$+ a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}$	$+ a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} -$
	$-$	$a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}$	$- a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}$	$- a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}$