0

0/15

16 Determinanten

0/15/1

16.2 Determinanten von Matrizen höherer Ordnung

0/15/1/1

16.2.2 Laplace’scher Entwicklungssatz

0/15/1/1/0

Der Laplace’scher Entwicklungssatz ermöglicht die Berechnung der Determinante von Matrizen mit mehr als 3 * 3 Elementen.
Streicht man bei einer Determinante D die i-te Zeile und k-te Spalte, so heißt die verbliebene Determinante Unterdeterminante. Sie wird durch das Symbol Dik gekennzeichnet. Die mit dem Vorzeichenfaktor (-1)i+k versehene Unterdeterminante Dik wird als algebraisches Komplement Aik bezeichnet.
Aik = (-1)i+k D ik

Man kann sich das Vorzeichen entsprechend einem Schachbrettmuster vorstellen:




+ - +



- + -



+ - +





Die Determinante von A läßt sich auch über die algebraischen Komplemente Ank ermitteln:

det A = a11a12a13 a21 a22a23 a31 a32a33
.

=
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 -

- a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 =


= a11 (a22 a33 - a23 a32) - a12 (a21 a33 - a23 a31) + a13 (a21 a32 - a22 a31)

D11 D12 D13


D11 = ... ... a 22a23 a 32a33 = a22a23 a32a33 = a22a33-a23a32.

D12 = .. ... a 21 a23a 31 a33 = a21a23 a31a33 = a21 a33 - a23 a31.

D13 = .. ... a 21a22 a 31a32 = a21a21 a31a32 = a21 a32 - a22 a31.
.

Damit kann man die Determinante D in der Form
D = a11D11 - a12D12 + a13D13 .
bzw. .
D = a11A11 + a12A12 + a13D13 = k=13a 1k A1k
schreiben. .
.
Allgemein kann man nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz die Determinante einer 3x3-Matrix durch Entwickeln nach einer Zeile oder Spalte berechnen: .
D = k=13a ik Aik oder .
D = i=13a ik Aik . .
.
Die Aik sind die algebraischen Komplemente von aik in D: Aik = (-1)i+k D ik .

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