0

0/15

16 Determinanten

0/15/1

16.2 Determinanten von Matrizen höherer Ordnung

0/15/1/2

16.2.3 Determinanten höherer Ordnung

0/15/1/2/0

Für (quadratische!) $nxn$-Matrizen können Determinanten n-ter Ordnung entsprechend angegeben werden:

$D=detA=\left|\begin{array}{cccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{1n}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{2n}\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill a_{n1}\hfill & \hfill a_{n2}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{nn}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|$

.

Die o.a. Rechenregeln für Determinanten gelten entsprechend.

Die Determinante kann man nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz einer $nxn$-Matrix durch Entwickeln nach einer Zeile oder Spalte berechnen: .
.
$D=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}\cdot A_{ik}$ oder $D=\sum _{i=1}^n{a}_{ik}\cdot A_{ik}$ . .
.
Die $A_{ik}$ sind die algebraischen Komplemente von $a_{ik}$ in $D$: $A_{ik}={\left(-1\right)}^{i+k}\cdot D_{ik}$

Vorgehen bei der Bestimmung einer n-reihigen Determinante:

1.

Man versucht, mit Hilfe elementarer Umformungen zunächst die Elemente einer Zeile (oder Spalte) bis auf eines (oder wenigen) auf Null zu bringen.

2.

Durch Entwicklung nach diesen Elementen erhält man eine (n-1)-reihige Unterdeterminante.

3.

Dies wird solange wiederholt, bis man z.B. 3-reihige Determinanten nach der Regel von Sarrus bestimmen kann. .