0

0/15

16 Determinanten

0/15/1

16.2 Determinanten von Matrizen höherer Ordnung

0/15/1/5

16.2.6 Inverse Matrix

Wie bereits gezeigt, sind Matrixprodukte nicht kommutativ. Man kann jedoch auf beiden Seiten einer Gleichung eine Multiplikation mit der gleichen Matrix durchführen (Rechts- oder Links-Multiplikation).
Hat man speziell eine Matrixgleichung mit einer einreihigen, quadratischen Matrix $A$ $AX=E$ ($E$ : Einheitsmatrix), so heißt $X$ die zu $A$ inverse Matrix und wird durch das Symbol $A^{-1}$ dargestellt.

• Nicht alle Matrizen sind invertierbar. .
  Beispiel 16 - 149
  $A=\left(\begin{array}{cc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)$ .
  .
  Die Matrix $A$ müßte erfüllen: $A\cdot A^{-1}=E$

  .
  

  $A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)=E=\left(\begin{array}{cc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)=$ $\left(\begin{array}{cc}\hfill a_{11}+a_{21}\hfill & \hfill a_{12}+a_{22}\hfill \\ \hfill 2a_{11}+2a_{21}\hfill & \hfill 2a_{12}+2a_{22}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)$ .
  .
  Gleichheit der Matrizen würde bedeuten: .
  .
  $1=a_{11}+a_{21}$ .
  $0=2a_{11}+2a_{21}↯$.
  Hätten wir die Determinante zur Lösung des Gleichungssystems verwendet, stünde im Nenner Null. .
  

  .
  

• Eine quadratische Matrix hat (wenn überhaupt) genau eine Inverse.
• Besitzt eine Matrix $A$ eine inverse MAtrix $A^{-1}$ , so heißt $A$ invertierbar. Die (ebenso n-rehige) Matrix $A^{-1}$ wird auch Umkehrmatrix , Kehrmatrix oder Inverse von $A$ bezeichnet.
• Es gilt: $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E$, .
  d.h. $A$ und $A^{-1}$ sind kommutativ.

Berechnung der inversen Matrix unter Verwendung von Unterdeterminanten
Für eine reguläre n-reihige (quadratische) Matrix $A$ kann man mit Hilfe von Unterdeterminanten die Inverse $A^{-1}$ wie folgt berechnen:

$A^{-1}=\frac{1}{detA}\cdot \left(\begin{array}{cccc}\hfill A_{11}\hfill & \hfill A_{21}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill A_{n1}\hfill \\ \hfill A_{12}\hfill & \hfill A_{22}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill A_{n2}\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill A_{1n}\hfill & \hfill A_{2n}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill A_{nn}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)$.
.

$↯$ Man beachte die Reihenfolge der Indizes !

$A_{ki}=A_{ik}^T$ $A_{ik}$ ist das algebraische Komplement, also die mit dem Vorzeichenfaktor ${\left(-1\right)}^{i+k}$ versehene Unterdeterminante $D_{ik}$ : $A_{ik}={\left(-1\right)}^{i+k}\cdot D_{ik}$
$$
Nachteil des Verfahrens ist der hohe Rechenaufwand bei größeren Matrizen.

Stattdessen wird eine Matrix häufig nach dem Gaußschen Algorithmus (Gauß-Jordan-Verfahren) invertiert. Hierbei bildet man aus einer Matrix $A$ und einer n-reihigen Einheitmatrix eine erweiterte Matrix

$\left(A|E\right)=\left(\underset{A}{\underbrace{\begin{array}{cccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{1n}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{2n}\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill a_{m1}\hfill & \hfill a_{m2}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{mn}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}}}\underset{E}{\underbrace{\begin{array}{cccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}}}\right)$.

Mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen wird diese Matrix so umgeformt, daß auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht. Auf der rechten Seite steht dann die Inverse:

$\left(\underset{E}{\underbrace{\begin{array}{cccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}}}\underset{B=A^{-1}}{\underbrace{\begin{array}{cccc}\hfill b_{11}\hfill & \hfill b_{12}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill b_{1n}\hfill \\ \hfill b_{21}\hfill & \hfill b_{22}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill b_{2n}\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill b_{m1}\hfill & \hfill b_{m2}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill b_{mn}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}}}\right)=\left(E|A^{-1}\right)$.
.