0

0/15

16 Determinanten

0/15/1

16.2 Determinanten von Matrizen höherer Ordnung

0/15/1/9

16.2.8 Orthogonale Matrix

0/15/1/9/0

Ensteht aus dem Produkt einer n-reihigen Matrix $A$ und ihrer Transponierten $A^{-1}$ eine Einheitsmatrix
$A\cdot A^T=E$,
so heißt die Matrix $A$ orthogonal.
Es gilt: .
$det\left(A\cdot A^T\right)=det\left(A\right)\cdot \underset{detA}{\underbrace{\left(det\left(A^T\right)\right)}}={\left(detA\right)}^2=detE=1$. .
.
Damit ist
$detA=1$ oder $detA=-1$.
Dann gilt auch:
$A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E$ .
Multipliziert man nun auf beiden Seiten von links mit der inversen Matrix $A^{-1}$ , so erhält man:
$A^{-1}\cdot \left(A\cdot A^T\right)=A^{-1}\cdot E$ und weiter

$A^{-1}\cdot \left(A\cdot A^T\right)=\underset{E}{\underbrace{\left(A^{-1}\cdot A\right)}}\cdot A^T=E\cdot A^T=A^T$
$A^{-1}\cdot E=A^{-1}$
Damit ist $A^T=A^{-1}$.
.
Das heißt, eine Orthogonale Matrix geht bei der Transposition in ihre inverse über. Dann gilt auch:
$A\cdot A^T=A^T\cdot A=E$.

Eigenschaften einer orthogonalen Matrix

1.

Die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren einer orthogonalen Matrix $A$ bilden ein orthonormiertes System, stellen also zueinander orthogonale Einheitsvektoren dar (daher auch ihr Name)

2.

Die Determinante einer orthogonalen Matrix $A$ besitzt den Wert $+1$ oder $-1$:
$detA=\pm 1$
Eine orthogonale Matrix ist daher stets regulär (der Umkehrschluß darf daraus nicht gezogen werden).

3.

Bei einer orthogonalen Matrix $A$ sind die Transponierte $A^T$ und die Inverse $A^{-1}$ identisch: .
$A^T=A^{-1}$ .

Beispiel für eine orthogonale Matrix: