0

0/15

16 Determinanten

0/15/1

16.2 Determinanten von Matrizen höherer Ordnung

0/15/1/10

16.2.9 Rang einer Matrix

0/15/1/10/0

Zunächst wird der Begriff der Unterdeterminante auf nicht quadratische Matrizen ausgedehnt, indem man einfach eine oder mehrere Zeilen oder Spalten streicht, bis man eine quadratische pxp-Matrix erhält, von der dann die Unter-Determinante p-ter Ordnung gebildet werden kann.

Beispiel 16 - 1:

$A=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -4\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)$
.

hat die Unterdeterminanten .
.
$\left|\begin{array}{cc}\hfill 1\hfill & \hfill -4\hfill \\ \hfill 8\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|=35$, $\left|\begin{array}{cc}\hfill 2\hfill & \hfill -4\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|=6$und $\left|\begin{array}{cc}\hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 8\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|=16$ ,
.

aber auch sechs einreihige Unterdeterminanten:

$\left|3\right|=3$ , $\left|8\right|=8$ , $\left|0\right|=0$ , $\left|-4\right|=-4$ , $\left|1\right|=1$ , $\left|2\right|=2$ .

Bildet man nun von einer Matrix alle möglichen Unterdeterminanten und betrachtet beginnend von der höchsten Ordnung deren Werte, so ergibt die Ordnung der ersten Determinante, die verschieden von Null ist, den Rang dieser Matrix.

$\Rightarrow$ Der Rang einer Matrix ist die höchste Ordnung aller von Null verschiedenen Unterdeterminanten von A.

Bestimmung des Rangs einer Matrix $A_{mn}$:
Ist $m\le n$ , vertauscht man einfach m und n.
Der Rang der Matrix ist höchstens n.

1.

man beginnt mit der höchsten Ordnung m

2.

man bildet die Unterdeterminanten der Ordnung m

3.

Ist eine dieser Unterdeterminanten verschieden von Null ?
Wenn ja, $\Rightarrow rg\left(A_{mn}\right)=m\Rightarrow$ Ende

4.

anderenfalls reduziert man $m$ um 1 und geht zu Schritt 2

.
Alternativ: .
Man formt die Matrix um in Richtung Dreiecksgestalt. Die Anzahl der Nicht-Nullzeilen gibt den Rang der Matrix an. .
.
Der Rang einer Matrix $A$ ändert sich bei den folgenden Umformungen nicht:

1.

Vertauschen zweier Zeilen (oder Spalten)

2.

Multiplikation oder Division einer Zeile oder Spalte mit einer beliebigen, von Null verschiedenen Zahl

3.

Addition eines Vielfachen einer anderen Zeile oder Spalte zu einer Zeile bzw. Spalte.