0

0/15

16 Determinanten

0/15/1

16.2 Determinanten von Matrizen höherer Ordnung

0/15/1/12

16.2.11 Lösungsverhalten eines linearen (m,n)-Gleichungssystems

0/15/1/12/0

Das Lösungsverhalten eines linearen (m,n)-Gleichungssystems wird durch die Homogenität/Inhomogenität des Gleichungssystems entscheidend geprägt:

1.: Inhomogenes lineares Gleichungssystem $A \cdot \vec{x} = \vec{c}$
Das System besitzt entweder genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen oder überhaupt keine Lösung.
2.: Homogenes lineares Gleichungssystem $A \cdot \vec{x} = \vec{0}$
Das System besitzt entweder genau eine Lösung, nämlich die triviale Lösung $\vec{x} = 0$ , oder unendlich viele Lösungen (darunter die triviale Lösung).

Ein gegebenes Gleichungssystem

$a_{11} \cdot x_{1}$	$+ a_{12} \cdot x_{2}$	$+ a_{13} \cdot x_{3}$	$\dots$	$+ a_{1 n} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{1}$
$a_{21} \cdot x_{1}$	$+ a_{22} \cdot x_{2}$	$+ a_{23} \cdot x_{3}$	$\dots$	$+ a_{2 n} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{2}$
$a_{31} \cdot x_{1}$	$+ a_{32} \cdot x_{2}$	$+ a_{33} \cdot x_{3}$	$\dots$	$+ a_{3 n} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{3}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$ $⋮$ $⋮$	$⋮$		$⋮$

kann man durch äquivalente Umformungen in ein gestaffeltes Gleichungssystem der Form

$a_{11}^{*} \cdot x_{1}$	$+ a_{12}^{*} \cdot x_{2}$	$+ \dots$	$+ a_{1 r}^{*} \cdot x_{r}$	$\dots$	$+ a_{1 n}^{*} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{1}^{*}$
	$+ a_{22}^{*} \cdot x_{2}$	$+ \dots$	$+ a_{2 r}^{*} \cdot x_{r}$	$\dots$	$+ a_{2 n}^{*} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{2}^{*}$
		$⋮$	$⋮$		$⋮$		$⋮$
			$+ a_{r r}^{*} \cdot x_{r}$	$\dots$	$+ a_{r n}^{*} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{r}^{*}$
					$0$	$=$	$c_{r + 1}^{*}$
					$0$	$=$	$c_{r + 2}^{*}$
					$⋮$		$⋮$
					$0$	$=$	$c_{m}^{*}$

überführen.

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