0

0/15

16 Determinanten

0/15/1

16.2 Determinanten von Matrizen höherer Ordnung

0/15/1/12

16.2.11 Lösungsverhalten eines linearen (m,n)-Gleichungssystems

0/15/1/12/2

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In Matrixschreibweise :
$A\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{c}$ wird durch äquivalente Umformungen in $A^{*}\cdot \overrightarrow{x^{*}}=\overrightarrow{c^{*}}$ überführt.
$\left.\genfrac{}{}{0.0pt}{}{A}{\left(A|\overrightarrow{c}\right)}\right\}\underset{Zeilenumformungen}{\overset{elementare}{\to }}\left\{\genfrac{}{}{0.0pt}{}{A^{*}}{\left(A^{*}|\overrightarrow{c^{*}}\right)}\right.$

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$\left(A^{*}|\overrightarrow{c^{*}}\right)=\left(\underset{A^{*}}{\underbrace{\begin{array}{cccccc}\hfill a_{11}^{*}\hfill & \hfill {}^{*}{a}_{12}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{1r}^{*}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{1n}^{*}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill {}^{*}{a}_{22}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{2r}^{*}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{2n}^{*}\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{rr}^{*}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{rn}^{*}\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}}}\underset{\overrightarrow{c^{*}}}{\underbrace{\begin{array}{c}\hfill c_1^{*}\hfill \\ \hfill c_2^{*}\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill c_r^{*}\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill c_m^{*}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}}}\right)$ .
.

Damit das Gleichungssystem lösbar ist, muss die erweiterte Koeffizientenmatrix $\left(A^{*}|\overrightarrow{c^{*}}\right)$ die spezielle Form

$\left(A^{*}|\overrightarrow{c^{*}}\right)=\left(\underset{A^{*}}{\underbrace{\begin{array}{cccccc}\hfill a_{11}^{*}\hfill & \hfill {}^{*}{a}_{12}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{1r}^{*}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{1n}^{*}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill {}^{*}{a}_{22}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{2r}^{*}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{2n}^{*}\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{rr}^{*}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{rn}^{*}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}}}\underset{\overrightarrow{c^{*}}}{\underbrace{\begin{array}{c}\hfill c_1^{*}\hfill \\ \hfill c_2^{*}\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}}}\right)$.
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annehmen.
Sowohl die Matrizen $a^{*}$ als auch $\left(A^{*}|\overrightarrow{c^{*}}\right)$ sind von trapezförmiger Gestalt und enthalten in den letzten (m-r) Zeilen nur Nullen. Sie stimmen daher mit ihrem Rang überein:

$Rg\left(A^{*}\right)=Rg\left(A^{*}|c^{*}\right)=r$.

Da die erweiterten Matrizen $\left(A|c\right)$ und $\left(A^{*}|c^{*}\right)$ durch äquivalente Umformungen / elementare Zeilenumformungen ineinander übergegangen sind, sind die korrespondierenden Matrizen ebenso ranggleich.

Dann gilt jedoch:

Ein lineares (m,n)-System $A\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}$ ist nur dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatric $A$ mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix $\left(A|c\right)$ übereinstimmt:

$Rg\left(A\right)=Rg\left(A|c\right)=r$    ($r\le m;r\le n)$

Fallunterscheidungen

1.

Fall: $r=n$
Das gestaffelte System $A^{\cdot }\overrightarrow{x}=\overrightarrow{c^{*}}$ besitzt für r =n die quadratische Form:

$a_{11}^{*}\cdot x_1$	$+a_{12}^{*}\cdot x_2$	$+\dots$	$+a_{1n}^{*}\cdot x_n$	$=$	$c_1^{*}$
	$+a_{22}^{*}\cdot x_2$	$+\dots$	$+a_{2n}^{*}\cdot x_n$	$=$	$c_2^{*}$
			⋮		⋮
			$a_{nn}^{*}\cdot x_n$	$=$	$c_n^{*}$

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In Matrixschreibweise :

$\left(A^{*}|\overrightarrow{c^{*}}\right)=\left(\underset{A^{*}}{\underbrace{\begin{array}{cccc}\hfill a_{11}^{*}\hfill & \hfill {}^{*}{a}_{12}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{1n}^{*}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill {}^{*}{a}_{22}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{2n}^{*}\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill \hfill & \hfill a_{nn}^{*}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}}}\underset{\overrightarrow{c_n^{*}}}{\underbrace{\begin{array}{c}\hfill c_1^{*}\hfill \\ \hfill c_2^{*}\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill c_n^{*}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}}}\right)$ .
.
Nun kann man durch Rückwärtseinsetzen die Werte für $\overrightarrow{x}$ bestimmen. Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung

2.

Fall: $r<n$
Das gestaffelte System $A^{*}\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{c^{*}}$ hat rechteckige Gestalt für $r<n$

$a_{11}^{*}\cdot x_1$	$+a_{12}^{*}\cdot x_2$	$+\dots$	$+a_{1r}^{*}\cdot x_r$	$\cdots$	$+a_{1n}^{*}\cdot x_n$	$=$	$c_1^{*}$
	$+a_{22}^{*}\cdot x_2$	$+\dots$	$+a_{2r}^{*}\cdot x_r$	$\cdots$	$+a_{2n}^{*}\cdot x_n$	$=$	$c_2^{*}$
			$\text{⋮}$	⋮			⋮
			$a_{rr}^{*}\cdot x_r$	$\cdots$	$+a_{rn}^{*}\cdot x_n$	$=$	$c_r^{*}$

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Damit haben wir mehr Unbekannte als Gleichungen: $n>r$. Davon sind $n-r$ der Unbekannten, z.B. $x_{r+1},x_{r+2},\cdots ,x_n$ frei wählbare Größen (Parameter).
Durch Rückwärtseinsetzen erhält man die unendlich vielen Lösungen des gestaffelten Systems, die dann durch die Parameter ausgedrückt werden.

Zusammenfassung: Ein Lineares Gleichungssystem ist nur lösbar, wenn Koeffzientematrix $A$ und erweiterte Matrix $\left(A|c\right)$ ranggleich sind:

$Rg\left(A\right)=Rg\left(A|c\right)=r$

Im Falle der Lösbarkeit besitzt das lineare Gleichungssystem die folgende Lösungsmenge:
Für $r=n$ : Genau eine Lösung
Für $r<n$ : Unendlich viele Lösungen

In einem homogenen System $A\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ ist die Lösbarkeitsbedingung $Rg\left(A\right)=Rg\left(A|c\right)$ stets erfüllt.

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Abbildung 10: Lösbarkeit von Gleichungssystemen

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