0

0/15

16 Determinanten

0/15/1

16.2 Determinanten von Matrizen höherer Ordnung

0/15/1/14

16.2.13 Lösung linearer Gleichungssysteme mit der Cramer’schen Regel

0/15/1/14/0

Ein lineares (n,n)-Gleichungssystem $A\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{c}$ besitzt genau eine Lösung, wenn die Koeffizientenmatrix $A$ regulär ist. Dann existiert auch die zu $A$ inverse Matrix $A^{-1}$, und die Lösung läßt sich wie folgt berechnen:
Man multipliziert die Matrizengleichung $A\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{c}$ von links mit $A^{-1}$ :
$A^{-1}\cdot A\cdot \overrightarrow{x}=A^{-1}\cdot \overrightarrow{c}$

$A^{-1}\cdot \overrightarrow{c}=A^{-1}\cdot A\cdot \overrightarrow{x}=\underbrace{\left(A^{-1}\cdot A\right)}E\cdot \overrightarrow{x}=E\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Damit wird der Lösungsvektor

$\overrightarrow{x}=A^{-1}\cdot \overrightarrow{c}=\frac{1}{detA}\cdot \left(\begin{array}{cccc}\hfill A_{11}\hfill & \hfill A_{21}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill A_{n1}\hfill \\ \hfill A_{12}\hfill & \hfill A_{22}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{n2}\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill A_{1n}\hfill & \hfill A_{2n}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill A_{nn}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\hfill c_1\hfill \\ \hfill c_2\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill c_n\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)$

$=\frac{1}{detA}\cdot \left(\begin{array}{cccc}\hfill c_1\cdot A_{11}\hfill & \hfill +c_2\cdot A_{21}\hfill & \hfill +\text{…}\hfill & \hfill +c_n\cdot A_{n1}\hfill \\ \hfill c_1\cdot A_{12}\hfill & \hfill +c_2\cdot A_{22}\hfill & \hfill +\text{…}\hfill & \hfill +c_n\cdot A_{n2}\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill c_1\cdot A_{1n}\hfill & \hfill +c_2\cdot A_{2n}\hfill & \hfill +\text{…}\hfill & \hfill +c_n\cdot A_{nn}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)$,
.

oder in komponentenweiser Darstellung:

$x_1=\frac{c_1{A}_{11}+c_2{A}_{21}+\cdots +c_n{A}_{n1}}{detA}$
$x_2=\frac{c_1{A}_{12}+c_2{A}_{22}+\cdots +c_n{A}_{n2}}{detA}$
⋮       ⋮
$x_n=\frac{c_1{A}_{1n}+c_2{A}_{2n}+\cdots +c_n{A}_{nn}}{detA}$
.

Den Zähler kann man auch schreiben als Determinante:

$D_1=\left|\begin{array}{ccccc}\hfill c_1\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill a_{13}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{1n}\hfill \\ \hfill c_2\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill a_{23}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{2n}\hfill \\ \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \text{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \text{⋮}\hfill \\ \hfill c_n\hfill & \hfill a_{n2}\hfill & \hfill a_{n3}\hfill & \hfill \text{…}\hfill & \hfill a_{nn}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|$,
.

was sich sofort verifizieren läßt, indem man einfach diese Determinante nach den Elementen der ersten Spalte entwickelt.
Mit der Vereinbarung $D=detA$ kann man dann vereinfacht schreiben:
$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},x_3=\frac{D_3}{D}$ bzw. $x_i=\frac{D_i}{D}$,
was als Cramer’sche Regel bekannt ist.

Die Cramer’sche Regel scheint zwar einfach anwendbar, ist aber in der Regel ineffizient, insbesondere bei größeren Zahlen von m und n. .