0

0/15

16 Determinanten

0/15/1

16.2 Determinanten von Matrizen höherer Ordnung

0/15/1/15

16.2.14 Auswirkungen von Rundungsfehlern

Die bisher aufgeführten Verfahren

• Gaußsches Verfahren
  
• Gauß-Jordan-Verfahren
  
• Cramer’sche Regel
  

bergen die Gefahr von Rundungsfehlern.
Beispiel 16 - 1:
Das Gleichungssystem

$\begin{array}{ccccc}\hfill x_1\hfill & \hfill +\hfill & \hfill x_2\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill x_1\hfill & \hfill +\hfill & \hfill 1,0001\cdot x_2\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 2,0001\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}$

hat $\left(1,1\right)$ als Lösung. Lag nun beispielsweise ein Rundungsfehler vor,

$\begin{array}{ccccc}\hfill x_1\hfill & \hfill +\hfill & \hfill x_2\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill x_1\hfill & \hfill +\hfill & \hfill 1,0001\cdot x_2\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}$,

erhält man als Lösung $\left(2,0\right)$, was deutlich von der ersten Lösung abweicht.
Sind die Rundungseffekte noch stärker,so erhält man

$\begin{array}{ccccc}\hfill x_1\hfill & \hfill +\hfill & \hfill x_2\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill x_1\hfill & \hfill +\hfill & \hfill x_2\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}$,

mit unendlich vielen Lösungen $\left(2-\lambda ,\lambda \right),\lambda \in R$, was nochmals deutlich von der ersten Lösung abweicht.

Wenn sehr kleine Veränderungen der Werte solch große Auswirkungen auf die Lösungen haben, spricht man von einem schlecht konditioniertem Gleichungssystem.
Bei dem Gleichungssystem
$\begin{array}{ccccc}\hfill 0,00001\cdot x_1\hfill & \hfill +\hfill & \hfill x_2\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill x_1\hfill & \hfill +\hfill & \hfill x_2\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}$

tritt dies beispielsweise nicht auf, das Gleichungssystem ist gut konditioniert. Ein Runden ergibt
$\begin{array}{ccccc}\hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill x_2\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill x_1\hfill & \hfill +\hfill & \hfill x_2\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}$,

und man erhält als Lösung $\left(1,1\right)$. Bei Anwendung des Gauß-Verfahrens erhält man jedoch
$\begin{array}{ccccc}\hfill 0,00001\cdot x_1\hfill & \hfill +\hfill & \hfill x_2\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill -9999\cdot x_2\hfill & \hfill =\hfill & \hfill -99998\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}$

und daraus $x_2=0,99990$. Rundet man diesen Wert auf 1, so ergibt sich aus der ersten Gleichung
$0,0001\cdot x_1+1=1\Rightarrow x_1=0$,

also eine Lösung $\left(0,1\right)$ und nicht $\left(1,1\right)$ wie erwartet. Der Fehler ließe sich durch entsprechende Umstellung vermeiden, indem man z.B. die Variablen vertauscht:

$\begin{array}{cccc}\hfill x_2\hfill & \hfill +\hfill & \hfill 0,00001\cdot x_1=\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill x_2\hfill & \hfill +\hfill & \hfill 1\cdot x_1\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}$

was zu den Gleichungen führt:

$\begin{array}{cccc}\hfill x_2\hfill & \hfill +\hfill & \hfill 0,00001\cdot x_1=\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill 0,9999\cdot x_1\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}$

und daraus nach Rundung das Ergebnis $\left(1,1\right)$. Indem man die Diagonalelemente durch Umstellung möglichst groß macht (Pivotisieren), läßt sich dieser Effekt meist reduzieren.