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17 Anwendungen

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17.1 Anwendungen in der Ökologie, Eigenwerte und Eigenvektoren

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17.1.1 Markov-Ketten und Übergangsmatrizen

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Bezeichnet man den Absatz des Getränks $K$ bzw. $T$ in diesem Jahr mit $k_{i}$ und im Folgejahr mit $k_{i + 1}$ bzw. $t_{i}$ und $t_{i + 1}$ , kann man die Gleichungen aufstellen: .
$\begin{matrix} k_{i + 1} & = & 0.85 \cdot k_{i} & + & 0.04 \cdot t_{i} \\ t_{i + 1} & = & 0.15 \cdot k_{i} & + & 0.96 \cdot t_{i} \end{matrix}$ .
.
Geht man über zur Matrixschreibweise, ergibt sich der Getränke-(Spalten-)vektor im Folgejahr als Produkt der Übergangsmatrix $M$ mit dem Getränke-(Spalten-)vektor des Vorjahres: .
.

$\vec{G_{i + 1}} = (\begin{matrix} k_{i + 1} \\ t_{i + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,85 \cdot 0,04 \\ 0,15 \cdot 0,96 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} k_{i} \\ t_{i} \end{matrix})$
.
.

\vec{G_{i + 1}} = M \cdot \vec{G_{i}}

Für einen Anfangs-Absatz von .

. $\vec{G_{0}} = (\begin{matrix} k_{0} \\ t_{0} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2000 \\ 3000 \end{matrix})$
.
Fässern erhält man im Folgejahr einen Verkauf von .
.

\vec{G_{1}} = (\begin{matrix} k_{1} \\ t_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,85 \cdot 0,04 \\ 0,15 \cdot 0,96 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2000 \\ 3000 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1820 \\ 3180 \end{matrix})

.
Fässern. .
.
Im Folgejahr (gleiches Wechselverhalten vorausgesetzt) ergibt sich ein Verkauf von .
.

\vec{G_{2}} = (\begin{matrix} k_{2} \\ t_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,85 \cdot 0,04 \\ 0,15 \cdot 0,96 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1820 \\ 3180 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1674 \\ 3326 \end{matrix})

.
Fässern. .
.

Interpretiert man den jährlichen Verkauf von Getränkefässern als Beobachtung und die Wechselraten als (feste) ’Wahrscheinlichkeiten’, so können wir bei bekannten Verkaufszahlen eines Jahres auf die Verkaufszahlen im Folgejahr schließen. .
Derartige Prognosemodelle, die mit der Verkettung von Wahrscheinlichkeiten operieren, nennt man Markoff’sche Ketten : Jede Beobachtung ist nur von einer oder von einer beschränkten Anzahl vorhergehender Beobachtungen abhängig. .