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17 Anwendungen

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17.1 Anwendungen in der Ökologie, Eigenwerte und Eigenvektoren

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17.1.3 Eigenwerte und Eigenvektoren

Gegeben sei folgende Leslie-Matrix: .
.
$L=\left(\begin{array}{cc}1.5& 2\\ 0.08& 0\end{array}\right)$ . .
.
Für einen Populationsvektor .
$$

$\overrightarrow{S_i}=\left(\begin{array}{c}10\\ 10\end{array}\right)$
ergibt sich im Folgejahr .

.
Für einen anderen Populationsvektor .

ergibt sich im Folgejahr .

Das heißt, der Populationsvektor kann aus dem ursprünglichen Vektor durch Multiplikation .
mit 1.6 erzeugt werden. Wenn das Produkt einer Matrix $L$ mit einem Vektor $$

das Gleiche ergibt wie die Multiplikation des Vektors $$

mit einer Zahl $\lambda$, nennen wir diesen Vektor Eigenvektor . Die Zahl $\lambda$ bezeichnet man als Eigenwert . .
Wie findet man die Eigenwerte und Eigenvektoren ? .
Wir gehen von folgendem Ansatz aus: $L\cdot$

= λ⋅ .
Ergänzt um die Einheitsmatrix $E$ .
$L\cdot$ = λ⋅E⋅ . 

$L\cdot$ -λ⋅E⋅ = 0. 

$\left(L-\lambda \cdot E\right)\cdot$ = 0. 

Diese Gleichung ist für von Null verschiedene Vektoren $$

dann erfüllt, wenn .

$detL-\lambda \cdot E=0$

$det\left(L-\lambda \cdot E\right)=det\left(\begin{array}{cc}\hfill 1.5-\lambda \hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 0.08\hfill & \hfill 0-\lambda \hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)=\left(1.5-\lambda \right)\cdot \left(-\lambda \right)-0.08\cdot 2={\lambda }^2-1.5\cdot \lambda -0.16=0$. .
.
Lösungen sind ${\lambda }_1=1.6$ und ${\lambda }_2=-0.1$. .
Die Eigenvektoren erhält man nun, indem man das Gleichungssystem .
$L\cdot$ = λ⋅

 jeweils für die Werte von ${\lambda }_1$ und ${\lambda }_2$ löst. .
Für ${\lambda }_1=1.6$ ergibt sich: .
$$

Für ${\lambda }_2=-0.1$ erhält man unendlich viele Lösungen: $0.8\cdot s_1=s_2$ .
Sind nun die Populationsgrößen Eigenvektoren der Leslie-Matrizen, so kann man die Folgepopulationen einfach durch (ggf. mehrfache) Multiplikation des Eigenwerts mit dem Vektor bestimmen: .
$$

$\overrightarrow{s_{i+n}}={\lambda }^n\cdot \overrightarrow{s_i}$ .