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17 Anwendungen

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17.4 lineare Un-Gleichungssysteme

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17.4.1 Lineare Optimierung

0/16/3/0/2 .

Um die Ungleichungen besser verarbeiten zu können, werden Schlupfvariablen $y_1\ge 0$, $y_2\ge 0$ und $y_3\ge 0$ eingeführt:

Die entsprechenden Schritte in diesem Beispiel sind:

1.

Erste zulässige Basislösung:
$x_1=0$, $x_2=0$, $y_1=150$, $y_2=22$, $y_3=27.5$ ergibt $z=0$.

2.

Verbesserung durch zunächst Festhalten von $x_1=0$ und Vergrößerung von $x_2$ , da Zielfunktion dadurch am stärksten steigt:
Hierbei entstehen die Folgefragen:
a) Um wieviel kann $x_2$ von 0 aus erhöht werden ?
b) Welche der Variablen $y_1$, $y_2$ oder $y_3$ sollen wir auf 0 setzen ?
Mit dem Versuch $y_1=0$ folgt aus ($I_1$), daß $x_2=25$.
Mit dem Versuch $y_2=0$ folgt aus ($I{I}_1$), daß $x_2=44$.
Mit dem Versuch $y_3=0$ folgt aus ($II{I}_1$), daß $x_2=27.5$. .
Damit ist der kritische Punkt in Gleichung (I), denn mit $x_2>25$ wird $y_1<0$. $x_2$ hat damit als Obergrenze den Wert 25.
Wir setzen also $x_2=25$ und damit $y_1=0$.

3.

Neue Werte:
$x_1=0$, $x_2=25$, $y_1=0$, $y_2=9.5$, $y_3=2.5$ ergibt $z=750$.

4.

Umschreiben des Gleichungssystems, sodaß die Variablen, die nicht gleich Null gesetzt sind, durch die anderen Variablen ersetzt werden: .

($I_2$)	$x_2$	$=$	$25.0$	$-$	$\frac{1}{2}{x}_1$	$-$	$\frac{1}{6}{y}_1$
($I{I}_2$)	$y_2$	$=$	$9.5$	$-$	$\frac{3}{4}{x}_1$	$+$	$\frac{1}{12}{y}_1$
($II{I}_2$)	$y_3$	$=$	$2.5$	$-$	$\frac{1}{2}{x}_1$	$-$	$\frac{1}{6}{y}_1$

.
$z=20x_1+30x_2=20x_1+30\cdot \left(25-\frac{1}{2}{x}_1-\frac{1}{6}{y}_1\right)$
$z=750+5x_1-5y_1$

5.

weitere Erhöhung von z durch Vergrößern von $x_1$ (mit $y_1$ wäre das kontraproduktiv; Deshalb $y_1=0$):

a) Um wieviel kann $x_1$ von 0 aus erhöht werden ?
b) Welche der Variablen $x_2$, $y_2$ oder $y_3$ sollen wir auf 0 setzen ?
Mit dem Versuch $x_2=0$ folgt aus ($I_2$), daß $x_1=50$.
Mit dem Versuch $y_2=0$ folgt aus ($I{I}_2$), daß $x_1=\frac{38}{3}$.
Mit dem Versuch $y_3=0$ folgt aus ($II{I}_2$), daß $x_1=5$. .
Damit ist der kritische Punkt durch Gleichung ($II{I}_2$) gegeben, und $x_1$ hat damit als Obergrenze den Wert 5.

6.

Neue Werte:
$x_1=5$, $x_2=22.5$, $y_1=0$, $y_2=5.75$, $y_3=0$ ergibt $z=775$.

7.

Umschreiben des Gleichungssystems, sodaß die Variablen, die nicht gleich Null gesetzt sind, durch die anderen Variablen ersetzt werden: .

($I_3$)	$x_1$	$=$	$5.0$	$+$	$\frac{1}{3}{y}_1$	$-$	$2y_3$
($I{I}_3$)	$x_2$	$=$	$22.5$	$-$	$\frac{1}{3}{y}_1$	$+$	$y_3$
($II{I}_3$)	$y_3$	$=$	$5.75$	$-$	$\frac{1}{6}{y}_1$	$+$	$\frac{3}{2}{y}_3$
	$z$	$=$	$775$	$-$	$\frac{10}{3}{y}_1$	$-$	$10y_3$

8.

Der Versuch, eine weitere Erhöhung von $z$ durch Vergrößern von $y_1$ oder $y_2$ von Null aus zu erreichen, führt nicht zum Ziel. Ergebnis:
$x_1=5$, $x_2=22.5$, $z=775$.