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18 Vektoralgebra

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18.3 Vektorrechnung in der Ebene

0/17/2/2

$\vec{a}$	$=$	$\vec{a_{x}} + \vec{a_{y}}$	$=$	$a_{x} \cdot \vec{e_{x}} + a_{y} \cdot \vec{e_{y}}$
$\vec{a}$	$=$	$(\binom{a_{x}}{a_{y}})$

Addition:

$\vec{a} + \vec{b}$	$=$	$\vec{a_{x}} + \vec{b_{x}} + \vec{a_{y}} + \vec{b_{y}}$
	$=$	$(\binom{a_{x} + b_{x}}{a_{y} + b_{y}})$

.
Beispiel 18 - 168

Abbildung 1: Vektoraddition

Subtraktion:

$\vec{a} - \vec{b}$	$=$	$(\binom{a_{x} - b_{x}}{a_{y} - b_{y}})$

.
.
Beispiel 18 - 169
Vektorsubtraktion graphisch und rechnerisch: Bilden Sie die Differenz

- .
für $\vec{a} = (\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix})$

Graphisch: Richtung 2. Vektor umkehren und Addition. .
Komponentenbetrachtung: .

\vec{a} - \vec{b} = (\begin{matrix} 4 \\ - 1 \end{matrix})

Beträge von Vektoren .
.
Beispiel 18 - 170
Beträge von Vektoren
Wie groß ist der Betrag des Vektors mit den Komponenten
$x = 4$ und $y = 3$ ?
.

.

Abbildung 2: Vektorbeträge

Phytagoras:

. $| \vec{a} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$
Gleichheit von Vektoren .
Zwei Vektoren sind gleich, wenn ihre Komponenten gleich sind .
.
Beispiel 18 - 171
Mit den Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \end{matrix})$ , $\vec{b} = (\begin{matrix} - 1 \\ 5 \end{matrix})$ und $\vec{c} = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})$
soll der Vektor

= +2 -5 gebildet werden. .
Welchen Betrag hat der Vektor ?

\vec{d} = \vec{a} + 2 \vec{b} - 5 \vec{c} = (\begin{matrix} 2 - 2 - 15 \\ - 3 + 10 - 10 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 15 \\ - 3 \end{matrix})

| \vec{d |} = \sqrt{{(- 15)}^{2} + {(- 3)}^{2}} ≃ 15,3

Beispiel 18 - 172: Parameterdarstellung von Geraden .
Eine Gerade ist ausreichend beschrieben durch einen darauf befindlichen Punkt und der Richtung der Geraden. Hat man die Ortsvektoren der beiden Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ , kann man willkürlich einen davon auswählen. .
$\vec{P_{1}}$ oder $\vec{P_{1}}$ dienen als Ortsvektor. .
Die Richtung der Geraden kann man ausdrücken als Differenz der Vektoren $\vec{P_{2} - P_{1}}$ .
(Richtungsvektor) ( $\vec{P_{2}} - \vec{P_{1}})$ oder .
$(\vec{P_{1}} - \vec{P_{2}})$ (entgegengesetzte Richtung) .
Parameterdarstellung einer Geraden durch $P_{1}$ und $P_{2}$ : .
$\vec{G} = \vec{P_{1}} + λ \cdot (\vec{P_{2}} - \vec{P_{1}})$ .
Die Punkt-Steigungsform wird zu: .
$y = m x + b \Rightarrow \vec{r} = (\begin{matrix} 0 \\ b \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ m \end{matrix})$