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Beispiel 18 - 178
Welchen Winkel schließt der Vektor

\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})

mit der x- bzw. der y-Achse ein ? .

Für den zweiten Vektor gilt:

\vec{e_{x}} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

bzw.

\vec{e_{y}} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

$\vec{a} \cdot \vec{e_{x}} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = 2$

\vec{a} \cdot \vec{e_{y}} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = 1

| \vec{a} | = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}

| \vec{e_{x}} | = | \vec{e_{y}} | = 1

Damit wird

\cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{e_{x}}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{e_{x}} |} = \frac{2}{\sqrt{5}}

oder

α = \arccos (\frac{\vec{a} \cdot \vec{e_{x}}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{e_{x}} |}) = \arccos (\frac{2}{\sqrt{5}}) \approx 0,46 \approx 27 °

und

$\cos β = \frac{\vec{a} \cdot \vec{e_{y}}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{e_{y}} |} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
oder

$β = \arccos (\frac{\vec{a} \cdot \vec{e_{y}}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{e_{y}} |}) = \arccos (\frac{1}{\sqrt{5}}) \approx 1,099 \approx 63 °$