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20 Anwendungen

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20.1 Vektordarstellung von Geraden

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$\vec{r} (λ)$	$=$	$\vec{r_{1}} + λ \vec{a}$

Zwei-Punkte-Form

$\vec{r} (λ)$	$=$	$(\vec{r_{1}} - \vec{r_{2}}) λ + \vec{r_{1}}$
	$=$	$\vec{r_{1}} + λ \vec{a}$
$\vec{a}$	$=$	$\vec{r_{2}} - \vec{r_{1}}$

Den Abstand eines Punktes Q von einer Geraden $\vec{r} (λ) = \vec{r_{1}} + λ \vec{a}$ erhält man über die Fläche eines Parallelogramms. Diese ist zum einen bestimmbar über Grundlinie mal Höhe, zum anderen über den betrag des Kreuzprodukts. .
Man erhält somit die Höhe, indem man die Fläche des Parallelogramms über das Kreuzprodukt ermittelt und durch die Grundlinie dividiert.

$A$	$=$	$\| \vec{r_{2}} - \vec{r_{1}} \| \cdot d$	oder
$A$	$=$	$\| \vec{b} \times \vec{a} \|$
	$=$	$\| \vec{P_{1} Q} \times (\vec{r_{2}} - \vec{r_{1}}) \|$
$\Rightarrow d$	$=$	$\frac{\| \vec{P_{1} Q} \times (\vec{r_{2}} - \vec{r_{1}}) \|}{\| \vec{r_{2}} - \vec{r_{1}} \|}$
	$=$	$\frac{\| (\vec{Q} - \vec{r_{1}}) \times \vec{a} \|}{\| \vec{a} \|}$

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