0

0/19

20 Anwendungen

0/19/2

20.2 Abstände/Schnittpunkte von Geraden

0/19/2/7

20.2.5 Anwendungsbeispiele

0/19/2/7/0 .
Beispiel 20 - 206
Gegeben seien die Geraden:

g_{1} : \vec{x_{1}} = (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + λ_{1} (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})

g_{2} : \vec{x_{2}} = (\begin{matrix} - 1 \\ 5 \\ 10 \end{matrix}) + λ_{2} (\begin{matrix} - 4 \\ 4 \\ 6 \end{matrix})

Wie liegen die Geraden zueinander ? .
.

Wo liegt ggf. der Schnittpunkt?

$3 + 2 λ_{1}$	$=$	$- 1 - 4 λ_{2}$		$2 λ_{1} + 4 λ_{2}$	$=$	$- 4$
$- 1 + 4 λ_{1}$	$=$	$5 + 4 λ_{2}$	$\Rightarrow$	$4 λ_{1} - 4 λ_{2}$	$=$	$6$
$2 + 3 λ_{1}$	$=$	$10 + 6 λ_{2}$		$3 λ_{1} - 6 λ_{2}$	$=$	$8$

$λ_{1}$	$λ_{2}$	$c$
$2$	$4$	$- 4$	$\cdot \frac{1}{2}$
$4$	$- 4$	$6$	$- 4 \cdot I \cdot 2$
$3$	$- 6$	$8$	$- 3 \cdot I \cdot 2$

$1$	$2$	$- 2$
$0$	$- 12$	$14$	$\cdot - \frac{1}{2}$
$0$	$- 12$	$14$	$\cdot - \frac{1}{2}$	(kann wegbleiben)

$1$	$2$	$- 2$	$+ I I ∕ 3$
$0$	$6$	$- 7$	$\cdot \frac{1}{6}$

$1$	$2$	$- 2$
$0$	$1$	$- \frac{7}{6}$

$1$	$2$	$2$	$2 \cdot I I$
$0$	$1$	$- \frac{7}{6}$

$1$	$0$	$- \frac{6 - 7}{3}$
$0$	$1$	$- \frac{7}{6}$

.
Lösung: $λ_{1} = \frac{1}{3}$ ; $λ_{2} = - \frac{7}{6}$ $\Rightarrow$ .
.

Schnittpunkt:	$S$	$=$	$(\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})$	$=$	$(\begin{matrix} \frac{11}{3} \\ \frac{1}{3} \\ 3 \end{matrix})$ .

.
.
.
Schnittwinkel:

φ = \arccos \frac{\vec{a_{1}} \cdot \vec{a_{2}}}{[\vec{a_{1}}] \cdot [\vec{a_{2}}]} = \arccos \frac{(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \frac{11}{3} \\ \frac{1}{3} \\ 3 \end{matrix})}{\sqrt{4 + 16 + 9} \cdot \sqrt{16 + 16 + 36}}

φ = \arccos \frac{- 8 + 16 + 18}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{68}} \approx 0,3 \cdot π \approx 54 °

.

Teilen