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0/19

20 Anwendungen

0/19/3

20.3 Vektorielle Darstellung der Ebene

0/19/3/6

20.3.6 Abstand einer (parallelen) Geraden von einer Ebene

0/19/3/6/1 .
Beispiel 20 - 218
Abstand Gerade-Ebene .
Gegeben sei eine Gerade mit dem Ortsvektor .
$$

$\overrightarrow{r_1}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ und dem Richtungsvektor $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 2\end{array}\right)$  .
sowie eine Ebene dem Ortsvektor  $\overrightarrow{P_0}=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 2\end{array}\right)$   und dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ . .
.
Wie liegen die Gerade und die Ebene zueinander ? .

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}\hfill 2\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill 3\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\hfill -1\hfill \\ \hfill -4\hfill \\ \hfill 2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)=-2-4+6=0$. .
.
Ebene und Gerade verlaufen also parallel. .
.
$d=\frac{|\overrightarrow{n}\cdot \left(\overrightarrow{r_1}-\overrightarrow{P_0}\right)|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$. .
.
$\overrightarrow{n}\cdot \left(\overrightarrow{r_1}-\overrightarrow{P_0}\right)=\left(\begin{array}{c}\hfill 2\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill 3\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\hfill 0-1\hfill \\ \hfill 1-5\hfill \\ \hfill 1-2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\hfill 2\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill 3\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\hfill -1\hfill \\ \hfill -4\hfill \\ \hfill -1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)=-2-4-9=-15$. .
.
$|$ | = 22 + 12 + 32 = 14.

.
$d=\frac{-15}{\sqrt{14}}$. .