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Beispiel 20 - 221
Schnittpunkt Gerade - Ebene bei Darstellung in Normalform. .
Gegeben sei eine Ebene mit dem Ortsvektor .

sowie eine Gerade mit dem Ortsvektor

\vec{P_{1}} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix})

und dem Richtungsvektor

\vec{a} = (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})

. .
Bestimmen Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel. .

\vec{r_{s}} = \vec{r_{1}} + \frac{\vec{n} \cdot (\vec{r_{0}} - \vec{r_{1}})}{\vec{n} \cdot \vec{a}} \cdot \vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) + \frac{(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) + \frac{2 - 3 - 4}{6 + 4} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1, 5 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0, 5 \\ 3 \\ 5 \end{matrix})

Schnittwinkel: $φ = \arcsin \frac{\vec{n} \cdot \vec{a}}{[\vec{n}] \cdot [\vec{a}]} = \arcsin \frac{6 + 4 + 0}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{25}} \approx 0,3 \cdot π \approx 55 °$

20 Anwendungen

20.3 Vektorielle Darstellung der Ebene