0

0/19

20 Anwendungen

0/19/3

20.3 Vektorielle Darstellung der Ebene

0/19/3/10

20.3.8 Lage zwischen zwei Ebenen

0/19/3/10/3 .
Beispiel 20 - 223
zwei parallel zueinander stehende Ebenen: .
Gegeben seien zwei Ebenen mit den Ortsvektoren .
$$

$\overrightarrow{P_1}=\left(\begin{array}{c}7\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{P_2}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ .
sowie den Normalenvektoren $$

$\overrightarrow{n_1}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{n_2}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ . .
Bestimmen Sie die Lage der Ebenen zueinander. .

Bestimmung der Richtungen zueinander über das Kreuzprodukt .
.
$\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}=\left|\begin{array}{ccc}\hfill x\hfill & \hfill y\hfill & \hfill z\hfill \\ \hfill -1\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill -2\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right|=\left(\begin{array}{c}\hfill 16-16\hfill \\ \hfill -4-\left(-4\right)\hfill \\ \hfill -8-\left(-8\right)\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)$. .
.
Ebene und Gerade verlaufen also parallel. .
.
$d=\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \left(\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}\right)|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|}$. .
.
$\overrightarrow{n_1}\cdot \left(\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}\right)=\left(\begin{array}{c}\hfill -1\hfill \\ \hfill 4\hfill \\ \hfill 2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\hfill -1-7\hfill \\ \hfill 0-3\hfill \\ \hfill 8+4\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\hfill -1\hfill \\ \hfill 4\hfill \\ \hfill 2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\hfill -8\hfill \\ \hfill -3\hfill \\ \hfill 12\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)=8-12+24=20$. .
.
$|$ | = (-1)2 + 42 + 22 = 21.

$d=\frac{20}{\sqrt{21}}\approx 4,36$. .