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20 Anwendungen

0/19/3

20.3 Vektorielle Darstellung der Ebene

0/19/3/10

20.3.8 Lage zwischen zwei Ebenen

0/19/3/10/6 .
Liegen die Ebenengleichungen in der Form .
$\vec{E_{1}} = \vec{r_{1}} + λ_{1} \vec{a_{1}} + μ_{1} \vec{b_{1}}$ .
bzw. $\vec{E_{2}} = \vec{r_{2}} + λ_{2} \vec{a_{2}} + μ_{2} \vec{b_{2}}$ vor, .
so erhält man durch Gleichsetzen unendlich viele Lösungen (3 Gleichungen, 4 Unbekannte), die alle auf einer Geraden liegen (Die Rechnung kann etwas aufwendiger werden !): .
$\vec{g_{1}} = \vec{g_{2}}$ .
$\vec{r_{1}} + λ_{1} \vec{a_{1}} + μ_{1} \vec{b_{1}} = \vec{r_{2}} + λ_{2} \vec{a_{2}} + μ_{2} \vec{b_{2}}$ . .
.

Alternativ führt das folgende Prinzip zu einer einfach zu bestimmenden Lösung: Der Richtungsvektor der Geraden ist senkrecht zu $\vec{n_{1}}$ und $\vec{n_{2}}$ . .
$\vec{a} = \vec{n_{1}} \times \vec{n_{2}}$ . .
Ein Ortsvektor $\vec{r_{0}}$ muss die beiden Ebenengleichungen erfüllen: .
$\vec{n_{1}} \cdot (\vec{r_{0}} - \vec{r_{1}}) = 0$ und $\vec{n_{2}} \cdot (\vec{r_{0}} - \vec{r_{2}}) = 0$ .
bzw. ausmultipliziert: .
$n_{1 x} (x_{0} - x_{1}) + n_{1 y} (y_{0} - y_{1}) + n_{1 z} (z_{0} - z_{1}) = 0$ und .
$n_{2 x} (x_{0} - x_{2}) + n_{2 y} (y_{0} - y_{2}) + n_{2 z} (z_{0} - z_{2}) = 0$ . .
.
Der Schnittwinkel errechnet sich wiederum über das Skalarprodukt:
$φ = arccos (\frac{\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}}{| \vec{n_{1}} | \cdot | \vec{n_{2}} |})$ . .
.