.
man erhält $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10+3\\ -6-2\\ 1-10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}13\\ -8\\ -9\end{array}\right)$

. .
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Die Ebenen sind nicht parallel, da  $\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}\ne \overrightarrow{0}$

Einen Ortsvektor $\overrightarrow{r_0}$ erhalten wir aus den beiden Ebenengleichungen: .
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$\overrightarrow{n_1}\cdot \left(\overrightarrow{r_0}-\overrightarrow{r_1}\right)\left(\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 5\hfill \\ \hfill -3\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\hfill x_0-1\hfill \\ \hfill y_0-0\hfill \\ \hfill z_0-1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)=x_0-1+5y_0-3\left(z_0-1\right)=0$.
und .
$\overrightarrow{n_2}\cdot \left(\overrightarrow{r_0}-\overrightarrow{r_2}\right)=\left(\begin{array}{c}\hfill 2\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill 2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\hfill x_0-0\hfill \\ \hfill y_0-3\hfill \\ \hfill z_0-0\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)=2x_0+y_0-3+2z_0=0$. .
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Wahl von $x_0=0$: .
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$\begin{array}{cccc}\hfill 5y_0\hfill & \hfill -3z_0\hfill & \hfill =\hfill & \hfill -2\hfill \\ \hfill y_0\hfill & \hfill +2z_0\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}$ .
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Auflösen ergibt $y_0=\frac{5}{13}$ und $z_0=\frac{17}{13}$. .
Daraus folgt die Geradengleichung .
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$\overrightarrow{r(\lambda )}=\overrightarrow{r_0}+\lambda \overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{5}{13}\\ \frac{17}{13}\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}13\\ -8\\ -9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}13\lambda \\ \frac{5}{13}-8\lambda \\ \frac{17}{13}\end{array}\right)$ . .
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Der Schnittwinkel errechnet sich wiederum über das Skalarprodukt:
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$\phi =arccos\left(\frac{\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n_2}\right|}\right)$. .

Schnittwinkel: $\phi =arccos\frac{\left(\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 5\hfill \\ \hfill -3\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\hfill 2\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill 2\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)}{\sqrt{1^2+5^2+{\left(-3\right)}^2}\cdot \sqrt{2^2+1^2+2^2}}$
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$=arccos\frac{2+5-6}{\sqrt{35}\cdot \sqrt{9}}=arccos\frac{1}{\sqrt{35}\cdot 3}\approx arccos0,056\approx 1,51\approx 87^o$