In der angewandten Mathematik muss man oft Abstände von Objekten berechnen. So passt ein Auto nur in eine Garage wenn der Abstand zwischen rechtem und linkem Pfosten der Einfahrt groß genug ist. Der einfachste Fall ist dabei der Abstand zwischen Punkten auf der Zahlengeraden.

Der Abstand zwischen den Punkten, die den Zahlen 5 und 2 entsprechen ist $5-2=3=\left|5-2\right|$ . Nun ist der Abstand von X nach Y genau so groß wie der Abstand von Y nach X, also ist der Abstand von 2 und 5 ebenfalls $3=-(2-5)=\left|2-5\right|$ . Im Allgemeinen ist der Abstand zwischen den Punkten, die den Zahlen x und y entsprechen $\left|x-y\right|$ . Als Spezialfall ist $\left|x\right|$ der Abstand von x (egal ob positiv oder negativ) von 0.

Es ist nützlich, sich die folgenden Eigenschaften des Abstands einzuprägen, die uns wieder begegnen, wenn wir in einem anderen Zusammenhang Abstände in der Ebene oder im Raum betrachten werden.

1. Der Abstand eines Objekts von sich selbst ist 0: $\left|x-x\right|=0$
2. Abstände sind niemals negativ; $\left|x-y\right|\ge 0$
3. Der Abstand von $x$ nach $y$ ist genau so groß wie der von $y$ nach $x$ : $\left|x-y\right|=\left|y-x\right|$
4. Will man von $x$ nach $y$, so ist ein Umweg über $z$ niemals kürzer als der direkte Weg: $\left|x-z\right|+\left|z-y\right|\ge \left|x-y\right|$ (Dreiecksungleichung)
5. Abstände lassen sich durch Quadratwurzeln berechnen: $\left|x-y\right|=\sqrt{{\left(x-y\right)}^2}$