GgT und kgV

Wie die Namen schon sagen ist der größte gemeinsame Teiler (ggT) von x und y größer als jeder andere Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) kleiner als jedes andere Vielfache von x und y.
Interessanter als die gewöhnliche Ordnung der Zahlen ist hier aber die Teilbarkeitsrelation. Wir schreiben

x ∣ y

für

$x ∣ x$
$x ∣ y und y ∣ z \to x ∣ z$
$x ∣ y und y ∣ x \to x = y$

Von zwei Zahlen ist immer eine größer oder gleich der anderen. Das git für die Teilbarkeitsrelation nicht - z.B. ist weder 3 ein Teiler von 5 noch 5 ein Teiler von 3.Deshalb sprechen wir von der Teilbarkeitsrelation als einer Halbordnung.
Der ggT von x und y ist im Sinne der Teilbarkeitsrelation die größte Zahl unterhalb von x und y:

$g g T (x, y) ∣ x und ggT(x,y) ∣ y$
$z ∣ x und z ∣ y \to z ∣ g g T (x, y)$

Analog ist das kgV von x und y im Sinne der Teilbarkeitsrelation die kleinste Zahl oberhalb von x und y:

$x ∣ k g V (x, y) und y ∣ k g V (x, y)$
$x ∣ z und y ∣ z \to k g V (x, y) ∣ z$

Eine solche Halbordnung, bei der es unterhalb von je zwei Elementen ein größtes und oberhalb ein kleinstes Element gibt, nennt man einen Verband.
Wie man leicht sieht, ist die Zahl 1, die jede andere Zahl teilt die kleinste Zahl im Sinne der Teilbarkeit. Außerdem ist für jede Zahl x $0 \cdot x = 0$ , also teilt 0 jede Zahl, d.h. im Sinne der Teilbarkeit ist 0 die größte Zahl.

Primzahlen sind Zahlen, außer 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Im Sinne der Teilbarkeit sid dies also die kleinsten Zahlen die größer als 1 sind. Solche Elemente nennt man in einem Verband Atome.