Der Dreisatz, auch Verhältnisgleichung oder Schlussrechnung genannt, ist ein üblicherweise dreischrittiges Verfahren, mit dem aus drei gegebenen Größen eine vierte berechnet werden kann, wenn die Größen in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen. Bereits Adam Ries beschrieb dieses Vorgehen im 16. Jahrhundert in seinen Rechenbüchlein.

Zunächst müssen wir zwei wichtige Formen von Verhältnissen klären.

Zwei Größen heißen proportional zueinander, wenn sie sich im gleichen Verhältnis ändern. Das heißt: Verdoppelt sich die eine Größe, verdoppelt sich auch die andere. Verdreifacht sich die eine Größe, verdreifacht sich auch die andere. Wird die eine Größe durch a dividiert, wird auch die andere Größe durch a dividiert. Und so weiter…

Mit anderen Worten: Das Verhältnis der Größen x und y zueinander ist eine Konstante - die Proportionalitätskonstante k:

$$\frac{y}{x}=k$$
Merksätze: „Je mehr, desto mehr.“ oder „Je weniger, desto weniger.“

Bei der grafischen Darstellung solcher Zuordnungen ergibt sich eine Ursprungsgerade:

Antiproportionalität

Ist ein Paar zusammengehörender Werte bekannt, kann über den Dreisatz ein zweites Paar berechnet werden, wenn dort nur ein Wert gegeben ist.

Für die konkrete Berechnung schauen wir uns zwei Beispiele an.

Eine Erkenntnis zum Abschluss: Die Einheiten verändern sich bei Dreisatzrechnungen nicht. Das führt insbesondere dazu, dass untereinander immer gleiche Einheiten stehen.

Es gibt natürlich auch Fragestellungen, bei denen die Größen weder proportional noch antiproportional zueinander sind.

Ein Beispiel: Zwei Musiker spielen das Lied „Happy Birthday“ in 25 Sekunden. Wie lange brauchen vier Musiker? Natürlich hat die Anzahl der Musizierenden keinen Einfluss auf die Dauer – die Aufgabe klingt also nur nach Dreisatz… Man muss sich also immer vor der Dreisatzrechnung davon überzeugen, dass die Größen tatsächlich voneinander abhängig sind.

Auch das Eierkuchenbeispiel von oben ist durchaus problematisch: Wir sind stillschweigend davon ausgegangen, dass die Portionsgrößen alle gleich sind, sprich dass alle gleich viel essen. Dies muss aber nicht so sein: Stellen Sie sich vor, es kommen zwei kleine Kinder und sechs ausgehungerte Jugendliche zum Essen… Dann werden die Portionsgrößen sehr unterschiedlich sein. Nur zu prüfen, ob es sich um eine "Je mehr, desto mehr"- oder um eine "Je mehr, desto weniger"-Zuordnung handelt, ist also zu wenig. Es muss sichergestellt sein, dass jede Einheit gleich groß ist, gleich viel kostet etc. Insbesondere wenn viele Faktoren eine Größe beeinflussen, ist das häufig schwierig festzustellen.