1. Anwendungskontext
Für einen Vergnügungspark soll ein neues Fahrgeschäft ("Die Feder") entworfen werden. Die Fahrgäste sollen dabei in eine Gondel in 70 Meter Höhe einsteigen und dann die Schwingung einer Feder erleben. Die Gondel soll bei maximaler Tiefe genau 10 Meter über dem Boden sein. Die Fahrt soll 80 Sekunden lang dauern und dabei soll die Gondel 10-mal runter und hoch geschwungen sein. Um zu prüfen, ob ein solches Fahrgeschäft zugelassen werden kann, brauchen die Entwickler die maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung der Gondel. Berechnen Sie diese.
Tipps:
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Bestimmen Sie zunächst die Funktion h(t), die die Höhe der Gondel in Abhängigkeit der Zeit beschreibt. (Cosinusfunktion)
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Die Geschwindigkeit der Gondel ist die erste Ableitung von dieser Funktion. (Maximale Geschwindigkeit wird auf halber Höhe (40 Meter) erreicht.)
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Die Beschleunigung der Gondel ist die zweite Ableitung dieser Funktion. (Maximale Beschleunigung wird am Höchsten bzw. Tiefsten Punkt der Gondel erreicht.)
2. Lernziele
Am Ende dieses Lernmoduls können Lernende…
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… erklären, was die Ableitung anschaulich bedeutet.
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… an Hand des Funktionsgraphen die Ableitungsfunktion skizzieren.
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… an Hand des Graphen der Ableitungsfunktion Aussagen über die Funktion treffen.
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… an Hand des Graphen der Funktion Aussagen über die Ableitungsfunktion treffen.
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… mit Hilfe der Ableitungsregeln die Ableitungen von Funktionen bestimmen.
4. Tipps & Tricks
Termumformungen der Funktion können das Ableiten vereinfachen:
Die Funktion $f(x)=(x^2-1)(x^3-x)$ lässt sich mit Hilfe der Produktregel wie folgt ableiten:
\begin{eqnarray*} f'(x)&=&2x(x^3-x)+(x^2-1)(3x^2-1) \\ f''(x)&=&2(x^3-x)+2x(3x^2-1)+2x(3x^2-1)+(x^2-1)6x \end{eqnarray*}
Diese Rechnung ist sehr fehleranfällig und der entstandene Ausdruck muss auch vereinfacht werden. Einfacher ist es zunächst den Funktionsterm umzuformen: \begin{eqnarray*} f(x)=(x^2-1)(x^3-x)=x^5-x^3-x^3+x=x^5-2x^3+x \end{eqnarray*} und dann die Ableitungen zu bestimmen: \begin{eqnarray*} f'(x)&=&5x^4-6x^2+1\\ f''(x)&=&20x^3-12x \end{eqnarray*}
Überprüfen Sie durch Termumformungen, ob beide Varianten das gleiche Ergebnis liefern.
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5. Zurück zum Anfang
Für einen Vergnügungspark soll ein neues Fahrgeschäft ("Die Feder") entworfen werden. Die Fahrgäste sollen dabei in eine Gondel in 70 Meter Höhe einsteigen und dann die Schwingung einer Feder erleben. Die Gondel soll bei maximaler Tiefe genau 10 Meter über dem Boden sein. Die Fahrt soll 80 Sekunden lang dauern und dabei soll die Gondel 10-mal runter und hoch geschwungen sein. Um zu prüfen, ob ein solches Fahrgeschäft zugelassen werden kann, brauchen die Entwickler die maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung der Gondel. Berechnen Sie diese.
Tipps:
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Bestimmen Sie zunächst die Funktion h(t), die die Höhe der Gondel in Abhängigkeit der Zeit beschreibt. (Cosinusfunktion)
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Die Geschwindigkeit der Gondel ist die erste Ableitung von dieser Funktion.
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Die Beschleunigung der Gondel ist die zweite Ableitung dieser Funktion.
Zunächst wird die Periodendauer der Funktion bestimmt. Da die Fahrt 80 Sekunden gehen soll und dabei 10 Perioden gefahren werden beträgt die Periodendauer $\frac{80}{10}=8$ Sekunden. Die Amplitude der Schwingung beträgt $\frac{70-10}{2}=30$. Da die Gondel zum höchsten Zeitpunkt 70 Meter über dem Boden ist und zum tiefsten Zeitpunkt 10 Meter über dem Boden ergibt sich, dass die Ruheposition der Gondel auf 40 Meter wäre. Die Funktion ist also um 40 Meter nach oben verschoben. Es ergibt sich für die Funktion h die folgende Funktionsvorschrift: \begin{eqnarray*} h(t)=30 \cdot \cos (\frac{2\pi}{8} t)+40 \end{eqnarray*}
Für die Geschwindigkeit (erste Ableitung) und die Beschleunigung (zweite Ableitung) ergeben sich die folgenden Funktionsterme: \begin{eqnarray*} &h'(t)&=-30 \cdot cos( \frac{2\pi}{8} t) \cdot \frac{2\pi}{8} \qquad \textit{Kettenregel!} \\ &h''(t)&=-30\cdot sin(\frac{2\pi}{8}t)\cdot \frac{2\pi}{8}\cdot \frac{2\pi}{8} \qquad \textit{Kettenregel!} \end{eqnarray*}
Die maximale Geschwindigkeit wird genau auf der Höhe von 40 Meter erreicht. Dort befindet sich die Gondel zum Beispiel zum Zeitpunkt t=2. Die maximale Beschleunigung wird genau an den Kuppeln erreicht. Dort befindet sich die Gondel zum Beispiel zum Zeitpunkt t=4.
Insgesamt ergibt sich für die maximale Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung folgendes:
\begin{eqnarray*} &h'(2)&=-30 \cdot cos( \frac{2\pi}{8} \cdot 2) \cdot \frac{2\pi}{8} \approx -23,56 \\ &h''(4)&=-30\cdot sin(\frac{2\pi}{8} \cdot 4)\cdot \frac{2\pi}{8}\cdot \frac{2\pi}{8} \approx 18,51 \end{eqnarray*}
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