Definition: Betrag, Betragsfunktion

Der Betrag einer reellen Zahl x ist definiert als: \begin{eqnarray*} |x|=\begin{cases} x \quad , \quad wenn \quad x\geq 0 \\ -x \quad , \quad wenn \quad x<0\end{cases} \end{eqnarray*}

Die Betragsfunktion ist wie folgt definiert: \begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ f(x)=|x| \end{eqnarray*}

Beispiel 1. Betrag und Betragsfunktion

$|\color{red}{-2}|=|x|=-x=-\color{red}{(-2)}=2$, weil hier $x=-2<0$.

$|\color{red}{2}|=|x|=x=\color{red}{2}=2$, weil hier $x=2\geq 0$.

\begin{eqnarray*} 3x-2-2\cdot |2x-3| &=&\begin{cases} 3x-2-2\cdot (2x-3) \quad , \quad wenn \quad 2x-3\geq 0 \\ 3x-2-2\cdot (-(2x-3)) \quad , \quad wenn \quad 2x-3<0\end{cases}\\ &=&\begin{cases} 3x-2-4x+6 \quad , \quad wenn \quad 2x\geq 3 \\ 3x-2-2\cdot (-2x+3) \quad , \quad wenn \quad 2x<3\end{cases}\\ &=&\begin{cases} -x+4 \quad , \quad wenn \quad x\geq \frac{3}{2} \\ 3x-2+4x-6 \quad , \quad wenn \quad x<\frac{3}{2}\end{cases}\\ &=&\begin{cases} -x+4 \quad , \quad wenn \quad x\geq \frac{3}{2} \\ 7x-8 \quad , \quad wenn \quad x<\frac{3}{2}\end{cases}\\ \end{eqnarray*}

Betragsfunktion: http://rnll.fh-kl.de/~asciidoc/mv/images/Betrag/Betragsfunktion.png

Achtung, häufig muss zum Zeichnen der Betragsfunktion der Betrag |x| durch abs(x) eingegeben werden.

Der Betrag eine Zahl gibt also den zahlenmäßigen Wert ohne Vorzeichen der Zahl an. Der Betrag von x gibt den Abstand der Zahl x von der 0 an. Der Betrag x-y gibt den Abstand der beiden Zahlen x und y an. Der komplette Ausdruck der im Betrag angegeben ist entscheidet dabei, ob man sich im ersten oder zweiten Fall befindet.

Satz: Lösen von Betragsgleichungen und Betragsungleichungen

Gleichungen bzw. Ungleichungen in denen mindestens ein Betrag vorkommt werden Betragsgleichungen bzw. Betragsungleichungen genannt. Die Lösungen solcher (Un-)Gleichungen können auf die folgenden Arten ermittelt werden.

graphische

Beide Seiten der (Un-)Gleichungen werden als Funktion in ein Koordinatensystem gezeichnet. Anschließend können die Schnittpunkte abgelesen oder berechnet werden und mit deren Hilfe kann die Lösung bzw. das Lösungsintervall angegeben werden.

rechnerisch

  1. Alle Beträge der (Un-)Gleichungen berechnen.

  2. Intervalle der (Un-)Gleichungen bestimmen.

  3. Für jedes Intervall $I$ die folgenden Schritte durchführen:

    1. Ausgangs (Un-)Gleichungen abschreiben.

    2. Beträge nach dem angegebenen Intervall auflösen.

    3. Die Lösungsmenge der (Un-)Gleichungen bestimmen und als Intervall $L$ aufschreiben.

    4. Das Intervall $I$ und das Intervall $L$ schneiden und somit das Lösungsintervall $L_I$ bestimmen.

  4. Alle $L_I$ miteinander vereinigen.

Das graphische Lösungsverfahren eignet sich, wenn die beiden Terme der (Un-)Gleichungen einfach sind oder wenn man elektronische Hilfsmittel zur Verfügung hat.

Beispiel 2. Betragsungleichung

Gesucht ist die Lösungsmenge der folgenden Betragsungleichung: $|3x-2|+2x-|x+3| \leq 17$.

Tabelle 1. Lösungsweg

1.

\begin{eqnarray*} |3x-2|&=& \begin{cases} 3x-2 \quad , \quad wenn \quad 3x-2\geq 0 \\ -(3x-2) \quad , \quad wenn \quad 3x-2<0\end{cases}\\&=&\begin{cases} 3x-2 \quad , \quad wenn \quad x\geq \frac{2}{3} \\ -3x+2 \quad , \quad wenn \quad x<\frac{2}{3}\end{cases} \\ |x+3|&=&\begin{cases} x+3 \quad , \quad wenn \quad x+3\geq 0 \\ -(x+3) \quad , \quad wenn \quad x+3<0\end{cases}\\&=&\begin{cases} x+3 \quad , \quad wenn \quad x\geq -3 \\ -x -3\quad , \quad wenn \quad x<-3\end{cases} \end{eqnarray*}

2.

http://rnll.fh-kl.de/~asciidoc/mv/images/Betrag/Intervalle.png

3.

$I_1=(-\infty,-3)$

$I_2=[-3,\frac{2}{3})$

$I_3=[\frac{2}{3},\infty)$

$|3x-2|+2x-|x+3| \leq 17$

$|3x-2|+2x-|x+3| \leq 17$

$|3x-2|+2x-|x+3| \leq 17$

$(-3x+2)+2x-(-x-3) \leq 17$

$(-3x+2)+2x-(x+3) \leq 17$

$(3x-2)+2x-(x+3) \leq 17$

\begin{eqnarray*} -3x+2+2x+x+3 \leq 17 \\ 5 \leq 17 \\ \mathbb{L}= (-\infty,\infty)\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} -3x+2+2x-x-3 &\leq & 17 \\ -2x-1 &\leq & 17 \\ -2x &\leq & 18\\ x&\geq & -9 \\ \mathbb{L}= [-9,\infty)\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} 3x-2+2x-x-3 &\leq & 17 \\4x-5 &\leq & 17 \\ 4x &\leq & 22\\ x &\leq & \frac{11}{2} \\ \mathbb{L}= (-\infty,\frac{11}{2}]\end{eqnarray*}

$\mathbb{L}_1=(-\infty,-3) \cap (-\infty,\infty)=(-\infty,-3)$

$\mathbb{L}_2=[-3,\frac{2}{3}) \cap [-9,\infty) =[-3,\frac{2}{3})$

$\mathbb{L}_1=[\frac{2}{3},\infty) \cap (-\infty,\frac{11}{2}]=[\frac{2}{3}, \frac{11}{2}]$

4.

$\mathbb{L}=(-\infty,-3) \cup [-3,\frac{2}{3}) \cup [\frac{2}{3}, \frac{11}{2}] =(-\infty, \frac{11}{2}]$

Auch in der Graphik zeigt sich, dass die linke Seite der Ungleich bis zum Schnittpunkt $S=(\frac{11}{2},17)$ immer kleiner gleich der rechten Seite ist.

http://rnll.fh-kl.de/~asciidoc/mv/images/Betrag/Betragsungleichung.png

Damit ist das Lösungsintervall hier ebenfalls $(-\infty, \frac{11}{2}]$.