1. Anwendungskontext
Die Stadt Mannheim besitzt den Beinamen "Quadratstadt". Hier ein Auszug aus der Innenstadt:
Durch die beiden Hauptstraßen wird ein Koordinatensystem festgelegt. Die Einheiten der Achsen werden durch die kleineren Straßen bestimmt. Sie befinden sich gerade im Ursprung des Koordinatensystems und möchten zu Fuß (oder per Taxi) bzw. per Hubschrauber zu dem Punkt P=(4,3) (Untere linke Ecke des grünen Quadrats). Wie weit ist es?
Wie lässt sich allgemein die Distanz zwischen zwei Punkten P=(x1,y1) und Q=(x2,y2) berechnen, wenn man zu Fuß bzw. per Hubschrauber unterwegs ist?
2. Lernziele
Am Ende dieses Lernmoduls können Lernende…
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… die Definition des Betrages angeben.
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… die Bedeutung des Betrages an einem Beispiel erklären.
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… Terme, die Beträge enthalten, (gegebenenfalls mit Hilfe einer Fallunterscheidung) als Term ohne Beträge darstellen.
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… Betragsgleichungen und Betragsungleichungen sowohl graphisch als auch rechnerisch lösen.
3. Jetzt geht’s los
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Im Video hat sich leider ein kleiner Fehler eingeschlichen. Beim abschließenden Beispiel wird zwar von der Betragsgleichung $|3x-4|=3|x+1|$ gesprochen, allerdings wird bei der Rechnung die 3 vor dem Betrag auf der rechten Seite vergessen. Rechnet man richtig, ergibt sich im Fall L1 ein Widerspruch und somit keine Lösung im ersten Intervall. Im Fall L2 kommt man auf $x=\frac{1}{6}$ und im dritten Fall wieder auf einen Widerspruch, also keine Lösung. Als allgemeine Lösungsmenge ergibt sich dann $L=\{\frac{1}{6}\}$.
4. Tipps & Tricks
Betragsgleichungen, deren eine Seite aus einem Betrag und deren anderen Seite aus einer Zahl besteht, lassen sich mit Hilfe des folgenden Satzes etwas einfacher bzw. schneller lösen.
Gesucht ist die Lösungsmenge der folgenden Betragsgleichung $|2x+5|=c$ mit
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c=3. Dann lautet die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-1, -4\}$, denn $-1$ ist die Lösung der Gleichung $2x+5=3$ und $-4$ ist die Lösung der Gleichung $2x+5=-3$.
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c=-3. Dann lautet die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{\}$.
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c=0. Dann lautet die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-\frac{5}{2}\}$, denn $-\frac{5}{2}$ ist die Lösung der Gleichung $2x+5=0$.
5. Wissenskontrolle
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6. Zurück zum Anfang
Die Stadt Mannheim besitz den Beinamen "Quadratstadt". Hier ein Auszug aus der Innenstadt:
Durch die beiden Hauptstraßen wird ein Koordinatensystem festgelegt. Die Einheiten der Achsen werden durch die kleineren Straßen bestimmt. Sie befinden sich gerade im Ursprung des Koordinatensystems und möchten zu Fuß (oder per Taxi) bzw. per Hubschrauber zu dem Punkt P=(4,3) (Untere linke Ecke des grünen Quadrats). Wie weit ist es?
Zu Fuß: Es ist egal welcher Weg gewählt wird. Jeder (direkte) Weg muss immer vier Einheiten nach links und drei Einheiten nach oben zurücklegen. Also braucht man 7 Einheiten.
Mit dem Hubschrauber: Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ergibt sich $3^2+4^2=l^2$, wobei l die Länge des Weges ist. Also braucht man 5 Einheiten.
Wie lässt sich allgemein die Distanz zwischen zwei Punkten $P=(x_1,y_1)$ und $Q=(x_2,y_2)$ berechnen, wenn man zu Fuß bzw. per Hubschrauber unterwegs ist?
Zu Fuß: Zunächst wird der x-Abstand zwischen den beiden Punkten berechnet. Dies geht mit $|x_1-x_2|$ dann wird der y-Abstand der beiden Punkte $|y_1-y_2|$ dazu addiert. Der allgemeine Abstand $l_{\textit{Fuß}}$ zwischen zwei Punkten $P=(x_1,y_1)$ und $Q=(x_2,y_2)$ lässt sich also durch $l_{\textit{Fuß}}=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$ berechnen.
Mit dem Hubschrauber: Der Abstand $l_{\textit{Luft}}$ zwischen zwei Punkten $P=(x_1,y_1)$ und $Q=(x_2,y_2)$ lässt sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras durch $l_{\textit{Luft}}=\sqrt{|x_1-x_2|^2+|y_1-y_2|^2}$ berechnen.
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