Es gibt drei Binomische Formeln.

Satz: Binomische Formeln

Erste Binomische Formel: \begin{eqnarray*}(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\end{eqnarray*} Zweite Binomische Formel: \begin{eqnarray*}(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\end{eqnarray*} Dritte Binomische Formel: \begin{eqnarray*}(a+b)(a-b)=a^2-b^2\end{eqnarray*}

Natürlich können die Binomischen Formeln auch rückwärts gelesen werden. Verwendet man die Binomischen Formeln um auf die rechte Seite zu kommen, so spricht man von Ausmultiplizieren. Verwendet man die Binomischen Formeln um auf die linke Seite zu kommen, so spricht man auch von Faktorisieren.

Die drei Binomischen Formel werden im Folgenden sowohl algebraische als auch geometrisch begründet.

Die algebraische Begründung der drei Formeln ist sehr einfach. So muss lediglich das Quadrat interpretiert (0. Schritt, nur nötig bei der ersten und zweiten Binomischen Formel), dann das Distributivgesetz (1. Schritt) angewendet und anschließend zusammengefasst (2. Schritt) werden.

\begin{eqnarray*} &&(a+b)^2=(a+b)\cdot (a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\\ &&(a-b)^2=(a-b)\cdot (a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2\\ &&(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab+b^2=a^2-b^2\\ \end{eqnarray*}

Die drei folgenden Animationen bieten Ihnen die Möglichkeit sich geometrisch anzuschauen, warum die drei Binomischen Formel gelten. Versuchen Sie jeweils Schritt für Schritt zu verstehen was und warum etwas gilt.

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Beispiel 1. Faktorisieren mit Hilfe der Binomischen Formel

Faktorisieren Sie den folgenden Ausdruck (=Schreiben Sie den folgenden Ausdruck als Produkt):

\begin{eqnarray*} (4x^2+\frac{4}{3}x+\frac{1}{9})^2-y^4= \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} (4x^2+\frac{4}{3}x+\frac{1}{9})^2-y^4 \end{eqnarray*}

Da die Aufgabenstellung Faktorisieren verlangt, müssen die Umformungen des obigen Satzes von rechts nach links benutzt werden. Zunächst wird deshalb überprüft, ob mit Hilfe der ersten Binomischen Formel der Ausdruck in der Klammer faktorisiert werden kann.

\begin{eqnarray*} =(\color{red}{(2x+\frac{1}{3})^2})^2-y^4 \end{eqnarray*}

Achtung es muss überprüft werden, ob der Ausdruck in der Mitte stimmt, also $2\cdot2x\cdot \frac{1}{3}=\frac{4}{3}x$? Stimmt.

\begin{eqnarray*} =((2x+\frac{1}{3})^2)^2-\color{red}{(y^2)^2} \end{eqnarray*}

Anwenden des drittem Potenzgesetzes bzw. des folgenden Argumentes: $y^4$ steht für $y\cdot y\cdot y\cdot y$ dies kann zusammengefasst werden zu $y^2 \cdot y^2$ und dies kann zusammengefasst werden zu $(y^2)^2$.

\begin{eqnarray*} =\color{red}{((2x+\frac{1}{3})^2-y^2)\cdot((2x+\frac{1}{3})^2+y^2)} \end{eqnarray*}

Anwenden der dritten Binomischen Formel (mit $a=(2x+\frac{1}{3})^2$ und $b=y^2$)

\begin{eqnarray*} =\color{red}{(((2x+\frac{1}{3})-y)\cdot((2x+\frac{1}{3})+y))}\cdot((2x+\frac{1}{3})^2+y^2) \end{eqnarray*}

Erneute Anwendung der dritten Binomischen Formel (mit $a=(2x+\frac{1}{3})$ und $b=y$). Achtung geht nur bei der ersten Klammer.

\begin{eqnarray*} =((2x+\frac{1}{3}-y)\cdot(2x+\frac{1}{3}+y))\cdot((2x+\frac{1}{3})^2+y^2) \end{eqnarray*}

Unnötige Klammern weglassen.

\begin{eqnarray*} =(2x+\frac{1}{3}-y)\cdot(2x+\frac{1}{3}+y)\cdot((2x+\frac{1}{3})^2+y^2) \end{eqnarray*}

Unnötige Klammern weglassen bzw. Anwendung des Assoziativgesetzes.

Der Ausdruck sieht nun zwar etwas komplizierter aus, dafür ist er aber ein Produkt und kann so oft leichter weiter bearbeitet werden. (Denken Sie zum Beispiel an das Kürzen bei Brüchen).