Eine Funktion $f: D\rightarrow Z$ heißt stetig in $x_0 \in D$, wenn zu jedem $\epsilon>0$ ein $\delta >0$ existiert, so dass gilt \begin{eqnarray*}|f(x_0)-f(y)|<\epsilon \quad für \quad alle \quad |x_0-y|<\delta.\end{eqnarray*} Ist eine Funktion in jedem $x_0 \in D$ stetig, so ist die Funktion f stetig.
Eine Funktion $f: D\rightarrow Z$ heißt differenzierbar in $x_0 \in D$, wenn der folgende Grenzwert existiert: \begin{eqnarray*}lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.\end{eqnarray*} Der Grenzwert (sofern er existiert) wird auch als Ableitung der Funktion an der Stelle $x_0$ bezeichnet und mit $f'(x_0)$ notiert. Ist eine Funktion in jedem $x_0 \in D$ differenzierbar, so ist die Funktion f differenzierbar. Mit f'(x) wird dann die Funktion bezeichnet, die jedem $x_0 \in D$ den entsprechenden Grenzwert zuordnet.
Die Folge $a_n: \mathbb{N} \rightarrow Z$ besitzt einen Grenzwert g, wenn für jedes $\epsilon >0$ ein $N \in \mathbb{N}$ existiert, sodass gitt: \begin{eqnarray*} |a_n-g|< \epsilon \quad für \quad alle \quad n>N. \end{eqnarray*}
Eine Funktion $f: D\rightarrow Z$ besitz in $x_0 \in D$ ein
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lokales Maximum, wenn die Funktion in der Umgebung von $x_0 \in D$ keine größeren Werte annimmt, d.h. es existiert ein $\epsilon>0$, sodass gilt: \begin{eqnarray*} f(x_0)>f(x) \quad für \quad alle \quad x \quad mit \quad |x-x_0|<\epsilon . \end{eqnarray*}
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lokales Minimum, wenn die Funktion in der Umgebung von $x_0 \in D$ keine kleineren Werte annimmt, d.h. es existiert ein $\epsilon>0$, sodass gilt: \begin{eqnarray*} f(x_0)<f(x) \quad für \quad alle \quad x \quad mit \quad |x-x_0|<\epsilon . \end{eqnarray*}
Eine Funktion $f: D\rightarrow Z$ besitz in $x_0 \in D$ einen Wendepunkt, wenn der Graph der Funktion sein Krümmungsverhalten (von einer Links- in eine Rechtskurve oder umgekehrt) ändert.