Satz: Umfang und Flächeninhalt eines Kreises

Ein Kreis mit Radius r hat einen

  • Umfang von $U=2\pi r$.

  • Flächeninhalt von $A=\pi r^2$.

Oft wird nicht der Flächeninhalt oder Umfang eines ganzen Kreises benötigt, sondern nur der Flächeninhalt oder Umfang eines Kreissektors bzw. damit eng zusammenhängend eines Kreissegmentes.

http://rnll.fh-kl.de/~asciidoc/mv/images/Pi/Kreissegment1.PNG

Um diese Flächeninhalte berechnen zu können, muss der Winkel angegeben werden. Hierzu gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder der Winkel wird in Grad angegeben oder der Winkel wird im Bogenmaß angegeben. Ein Kreis entspricht dabei 360 Grad bzw. im Bogenmaß $2 \pi$ (dies ist genau der Umfang eines Einheitskreises (r=1)).

Daraus (mit einem einfachen Dreisatz) ergeben sich für den Flächeninhalt des Kreissektors die beiden folgenden Formeln:

Satz: Flächeninhalt eines Kreissektors

Ein Kreis mit Radius r und Winkel:

  • $\alpha$ (in Grad) hat einen Flächeninhalt von $A=\frac{\pi r^2}{360}\cdot \alpha$.

  • $\gamma$ (im Bogenmaß) hat einen Flächeninhalt von $A=\frac{\pi r^2}{2 \pi}\cdot \gamma=\frac{r^2}{2}\cdot \gamma$.

Wichtig Achten Sie darauf, auf welche weiße Ihr Taschenrechner die Winkel interpretiert. Meist kann man die akzeptierte Einheit einfach umstellen. Mit Hilfe eines einfachen Dreisatzes lassen sich die Einheiten auch einfach ineinander umrechnen.
Beispiel 1. Umrechnen von Winkeln

http://rnll.fh-kl.de/~asciidoc/mv/images/Pi/Umrechnung.PNG

Analog zum Flächeninhalt des Kreissektors kann dann auch die Bogenlänge (im Bild b, auch Kreisbogen genannt) berechnet werden.

Satz: Bogenlänge eines Kreissektors

Ein Kreis mit Radius r und Winkel:

  • $\alpha$ (in Grad) hat eine Bogenlänge von $A=\frac{2\pi r}{360}\cdot \alpha$.

  • $\gamma$ (im Bogenmaß) hat eine Bogenlänge von $A=\frac{2\pi r}{2 \pi}\cdot \gamma=r \cdot \gamma$.

Um den Flächeninhalt des Kreissegmentes zu bekommen, wird die Fläche des Dreiecks vom Flächeninhalt des Kreissektors abgezogen. Dazu werden jedoch die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus benötigt. Für Interessierte wird hier der genaue Weg beschrieben.

Anmerkung
Flächeninhalt des Kreissegments

http://rnll.fh-kl.de/~asciidoc/mv/images/Pi/Kreissegment2.PNG

Der Flächeninhalt des Kreissegmentes ist der Flächeninhalt des Kreissektors minus der Flächeninhalt des Dreieckes BCM. Der Flächeninhalt des Kreissegmentes $A_{KS}$ kann durch obige Formel berechnet werden: \begin{eqnarray*}A_{KS}=\frac{r^2}{2}\cdot \alpha\end{eqnarray*}

Mit Hilfe der Winkelfunktionen können im Dreieck BDM die folgenden Beziehungen gefunden werden: \begin{eqnarray*}\sin(\frac{\alpha}{2})&=&\frac{\frac{g}{2}}{r}\\ \cos(\frac{\alpha}{2})&=&\frac{h}{r}\end{eqnarray*}

Umformen der Gleichungen nach g bzw. h liefert: \begin{eqnarray*}g&=&\sin(\frac{\alpha}{2})\cdot r \cdot 2 \\ h&=&\cos(\frac{\alpha}{2})\cdot r\end{eqnarray*}

Insgesamt ergibt sich für das Dreieck also der Flächeninhalt: \begin{eqnarray*}A_{D}=\frac{1}{2}\cdot \sin(\frac{\alpha}{2})\cdot r \cdot 2 \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})\cdot r\end{eqnarray*}

Für den Flächeninhalt des Kreissegments ergibt sich also:

\begin{eqnarray*}A&=&\frac{ r^2}{2}\cdot \alpha-\frac{1}{2}\cdot \sin(\frac{\alpha}{2})\cdot r \cdot 2 \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})\cdot r\\ &=& \frac{ r^2}{2}\cdot \alpha-r^2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})\\ &=& \frac{r^2}{2} (\alpha-2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})) \end{eqnarray*}

Mit Hilfe des Additionstheorem ($ \sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$, hier gilt x=y) ergibt sich dann: \begin{eqnarray*}A&=&\frac{r^2}{2} (\alpha-\sin(2\cdot \frac{\alpha}{2}))\\ &=& \frac{r^2}{2} (\alpha-\sin(\alpha))\\ \end{eqnarray*}

Diese Formel findet sich in jeder Formelsammlung. Zum Beispiel auch bei Wikipedia.