Die Zahl Pi

Die Zahl Pi übt seit Jahrhunderten auf viele Menschen eine große Faszination aus. Bereits die Babylonier 2000 vor Christus benutzten als Näherungswert für die Zahl Pi den Bruch $\frac{10}{3}\approx 3,3$. Im 17. Jahrhundert vor Christus wurde im ältesten Rechenbuch der Welt, dem altägyptischen Papyrus Rhind, die Zahl Pi mit ungefähr $\left(\frac{16}{9}\right)^2\approx 3,16$ angenähert.

Archimedes (287-212 v.Chr) näherte Pi mit dem Bruch $\frac{22}{7}\approx 3,142$ an. Dieser Bruch wird auch heute noch in Schulen und Hochschulen als Abschätzung für Pi benutzt.

Ca. 100 bzw. 500 Jahre nach Christus entwickelten Ptolemäus und Tsu Ch`ung Chi mit $\frac{377}{120} \approx 3,1416 $ bzw. mit $\frac{355}{113} \approx 3,1415929$ noch bessere Annäherungen an Pi. Diese letzte Annäherung ist bis zur sechsten Nachkommastelle genau.

Der Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) entdeckte, dass sich Pi durch die folgende Reihe beliebig genau approximieren lässt: $4\pi=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}...=\sum_{i=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n}{2n+1}\right)$.

Im Jahre 1949 konnte dann ein Computer (ENIAC) die ersten 2000 nachkommastellen berechnen. Im Jahre 1989 wurden von Computern bereits die ersten 107.374.000 Nachkommastellen berechnet. Im Jahre 2002 waren es bereits 1.241.100.000.000 Nachkommastellen. Der letzte Eintrag zur Anzahl der Nachkommastellen in Wikipedia ist aus dem Jahre 2011. Recherchieren Sie wie viele Nachkommastellen zu diesem Zeitpunkt berechnet wurden.

Am Ende dieses Lernmoduls können Lernende…

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Oft ist es hilfreich Ergebnisse mit Hilfe von Überschlagsrechnungen zu verifizieren. Dies gilt nicht nur für reine Rechnungen sondern kann auch für Formeln ganz nützlich sein. So lässt sich aus einer einfachen Skizze schon eine gute Abschätzung für die Flächeninhalt eines Kreises herleiten:

Der Flächeninhalt des schwarzen Kreises liegt irgendwo zwischen den Flächeninhalt des grünen und des blauen Quadrates. Um den Flächeninhalt der beiden Quadrate auszurechnen werden die Seitenlängen der beiden Quadrate benötigt. Für das blaue Quadrat kann diese direkt aus der Skizze abgelesen werden. Sie beträgt $2r$. Für das grüne Quadrat kann die Seitenlänge mit Hilfe von Pythagoras berechnet werden. Sie beträgt $ \sqrt{2}r$. Der Flächeninhalt des Kreises liegt also in etwa mittig zwischen $2r^2$ und $4r^2$. Eine erste Abschätzung der Größenordnung des Kreises ist also $3r^2$.

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Die Zahl Pi übt seit Jahrhunderten auf viele Menschen eine große Faszination aus. Bereits die Babylonier 2000 vor Christus benutzten als Näherungswert für die Zahl Pi den Bruch $\frac{10}{3}\approx 3,3$. Im 17. Jahrhundert vor Christus wurde im ältesten Rechenbuch der Welt, dem altägyptischen Papyrus Rhind, die Zahl Pi mit ungefähr $\left(\frac{16}{9}\right)^2\approx 3,16$ angenähert.

Archimedes (287-212 v.Chr) näherte Pi mit dem Bruch $\frac{22}{7}\approx 3,142$ an. Dieser Bruch wird auch heute noch in Schulen und Hochschulen als Abschätzung für Pi benutzt.

Ca. 100 bzw. 500 Jahre nach Christus entwickelten Ptolemäus und Tsu Ch`ung Chi mit $\frac{377}{120} \approx 3,1416 $ bzw. mit $\frac{355}{113} \approx 3,1415929$ noch bessere Annäherungen an Pi. Diese letzte Annäherung ist bis zur sechsten Nachkommastelle genau.

Der Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) entdeckte, dass sich Pi durch die folgende Reihe beliebig genau approximieren lässt: $4\pi=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}...=\sum_{i=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n}{2n+1}\right)$.

Im Jahre 1949 konnte dann ein Computer (ENIAC) die ersten 2000 nachkommastellen berechnen. Im Jahre 1989 wurden von Computern bereits die ersten 107.374.000 Nachkommastellen berechnet. Im Jahre 2002 waren es bereits 1.241.100.000.000 Nachkommastellen. Der letzte Eintrag zur Anzahl der Nachkommastellen in Wikipedia ist aus dem Jahre 2011. Recherchieren Sie wie viele Nachkommastellen zu diesem Zeitpunkt berechnet wurden.

Zu diesem Zeitpunkt konnte ein Computer in 191 Tagen die ersten 10.000.000.000.000 Nachkommastellen berechnen.

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