Exponential- und Logarithmusfunktionen

Definition: Exponentialfunktionen und die Exponentialfunktion

Eine Funktion der folgenden Form heißt Exponentialfunktion: \begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ f(x)=a^x \end{eqnarray*} Dabei ist $a \in \mathbb{R}^+$ (alle positiven reellen Zahlen) und $a\neq 1$.

Ist a die eulersche Zahl e spricht man auch von der Exponentialfunktion oder der natürlichen Exponentialfunktion.

Beispiel 1. Exponentialfunktionen

a) $f(x)=2^x$

b) $g(x)=(\frac{1}{2})^x$

c) $h(x)=-3\cdot e^x$

Satz: Eigenschaften der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion (in ihrer Grundform) besitzt keine Nullstellen.
Die Exponentialfunktion (in ihrer Grundform) hat ihren y-Achsenabschnitt im Punkt $P(0,1)$.
Für $a>1$ ist die Exponentialfunktion streng monoton steigend.
Für $a<1$ ist die Exponentialfunktion streng monoton fallend.
Für $a>1$ nähert sich die Exponentialfunktion für $x \rightarrow -\infty$ gegen $0$.
Für $a<1$ nähert sich die Exponentialfunktion für $x \rightarrow \infty$ gegen $0$.
Die Exponentialfunktion ist injketiv aber nicht surjektiv (sie wird surjektiv, wenn man den Zielbereich auf $\mathbb{R}^+$ einschränkt).

Definition: Komposition oder Verkettung von Funktionen

Die Komposition oder Verkettung zweier Funktionen ist wie folgt definiert: \begin{eqnarray*} f \circ g(x):= f(g(x))\end{eqnarray*}

Die Komposition zweier Funktionen ist also die Hintereinanderausführung der beiden Funktionen. Bei der Verknüpfung f mit g wird zunächst x in die Funktion g eingesetzt (Ausführung von g) und dann wird das Ergebnis in die Funktion f eingesetzt (Ausführung von f). Die Verknüpfung f mit g bzw. die Verknüpfung g mit f liefern im Allgemeinen nicht dieselbe Funktion (siehe folgendes Beispiel).

Beispiel 2. Komposition oder Verkettung von Funktionen

a) $f(x)=3x+2$ und $g(x)=2x^2+1$. Dann ergibt sich für die Verknüpfung f mit g bzw. g mit f das folgende: \begin{eqnarray*} f \circ g(x):= f(g(x))=f(2x^2+1)=3(2x^2+1)+2=6x^2+5 \\ g \circ f(x):= g(f(x))=g(3x+2)=2(3x+2)^2+1=18x^2+24x+9 \\\end{eqnarray*}

b) $f(x)=2^x$ und $g(x)=2x+1$. Dann ergibt sich für die Verknüpfung f mit g bzw. g mit f das folgende: \begin{eqnarray*} f \circ g(x):= f(g(x))=f(2x+1)=2^{2x+1} \\ g \circ f(x):= g(f(x))=g(2^x)=2\cdot 2^x+1 \end{eqnarray*}

Definition: Logarithmusfunktion und die Logarithmusfunktion

Eine Funktion der folgenden Form heißt Logarithmusfunktion: \begin{eqnarray*} f: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R} \\ f(x)=\log_{a}(x) \end{eqnarray*} Dabei ist $a \in \mathbb{R}^+$ (alle positiven reellen Zahlen) und $a\neq 1$.

Ist a die eulersche Zahl e spricht man auch von der Logarithmusfunktion oder der natürlichen Logarithmusfunktion.

Beispiel 3. Logarithmusfunktion

a) $f(x)=\log_2(x)$

b) $g(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x)$

c) $h(x)=-3 \ln(x)$

Definition: Umkehrfunktionen

Eine Funktion g ist die Umkehrfunktion der Funktion f, wenn gilt $f \circ g(x)=x$ und $g \circ f(x)=x$. Der Graph der Umkehrfunktion ergibt sich aus Spiegelung der Funktion an der Achse y=x.

Beispiel 4. Umkehrfunktionen

a) Die Logarithmusfunktion zur Basis a ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis a. \begin{eqnarray*} f \circ g(x)=f(g(x))=f(\log_1(x))=a^{\log_a(x)}=x \\ g \circ f(x)=g(f(x))=g(a^x)=\log_a(a^x)= x \cdot \log_a(a)=x \end{eqnarray*}

b) Die Funktion $f(x)=\log_2(x)$ ist die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)=2^x$.

Satz: weitere Eigenschaften der Logarithmusfunktion

Die Logarithmusfunktion (in ihrer Grundform) besitzt genau eine Nullstelle im Punkt $P(1,0)$.
Die Logarithmusfunktion (in ihrer Grundform) schneidet die y-Achse nicht.
Für $a>1$ ist die Logarithmusfunktion streng monoton steigend.
Für $a<1$ ist die Logarithmusfunktion streng monoton fallend.
Die Logarithmusfunktion ist injektiv und surjektiv.