Da die Ableitungsfunktion die Steigung der Funktion angibt, können mit ihrer Hilfe Extrem- und Wendepunkte einer Funktion bestimmt werden. Bei einem Extrempunkt ist die Steigung der Funktion gerade Null und die Steigung vor und nach dem Extrempunkt müssen unterschiedliche Vorzeichen besitzen. Findet der Wechsel von positiv nach negativ statt (d.h. die ursprüngliche Funktion steigt zunächst und fällt dann), handelt es sich um einen Hochpunkt. Findet der Wechsel von negativ nach positiv statt (d.h. die ursprüngliche Funktion fällt zunächst und steigt dann), handelt es sich um einen Tiefpunkt. Ob ein Vorzeichenwechsel erfolgt, kann mit Hilfe der zweiten Ableitung (gibt die Steigung der Ableitungsfunktion an) bestimmt werden. Ist die Ableitung an der betrachteten Stelle größer als Null, ist die Steigung der Ableitung positiv, d.h. die Ableitungsfunktion steigt an dieser Stelle, es liegt also ein Wechsel von negativ nach positiv und somit ein Tiefpunkt vor. Ist die zweite Ableitung an der betrachteten Stelle hingegen kleiner als Null, dann ist die Steigung der Ableitung negativ (also findet ein Wechsel von positiv nach negativ statt) und es liegt ein Hochpunkt vor. Ist die Ableitung an der betrachteten Stelle gleich Null, liegt ein Sonderfall vor. Es ist nicht direkt ersichtlich, ob nun ein Extrempunkt vorliegt. Weitere Ableitungen der Funktion müssen untersucht werden (siehe unten). Daher gilt das folgende Vorgehen um Extrempunkte einer Funktion zu bestimmen:

Anleitung: Extrempunkte einer Funktion bestimmen

Gegeben ist die Funktion f.

  1. Finden möglicher Kandidaten für die Extremstelle: Funktion ableiten, gleich Null setzen und nach x auflösen.

    • Liefert die x-Koordinate von möglichen Extrempunkten: $x_0,x_1,...$

  2. Art der Extremstelle bestimmen: die x-Koordinate möglicher Extrempunkten in die zweite Ableitung einsetzen.

    • Gilt $f''(x_0)>0$, handelt es sich um einen Tiefpunkt.

    • Gilt $f''(x_0)<0$, handelt es sich um einen Hochpunkt.

    • Gilt $f''(x_0)=0$, müssen die Ableitungen weiter untersucht werden.

  3. y-Koordinate der Extremstelle bestimmen: die x-Koordinaten der Tief- bzw. Hochpunkte in f einsetzen.

Bei einem Wendepunkt ist die Steigung der Funktion am Extremsten. Hat die Funktion also einen Wendepunkt, so hat ihre Ableitung einen Extrempunkt an derselben Stelle. Hier ist es sogar egal, ob es sich um einen Tief- oder Hochpunkt handelt. Es muss aber noch überprüft werden, ob die dritte Ableitung ungleich Null ist.

Daher ergibt sich für das Bestimmen von Wendepunkten das folgende Vorgehen:

Anleitung: Wendepunkte einer Funktion bestimmen

Gegeben ist die Funktion f. (Es müssen die Extremstellen der Ableitungsfunktion f' bestimmt werden)

  1. Finden möglicher Kandidaten für die Wendepunkte: Funktion zweimal ableiten, gleich Null setzen und nach x auflösen.

    • Liefert die x-Koordinate von möglichen Wendepunkten: $x_0,x_1,...$

  2. Überprüfen der Kandidaten: die x-Koordinate möglicher Wendepunkte in die dritte Ableitung einsetzen.

    • Gilt $f'''(x_0)\neq 0$, handelt es sich um einen Wendepunkt.

    • Gilt $f'''(x_0)=0$, müssen die Ableitungen weiter untersucht werden.

  3. y-Koordinate der Extremstelle bestimmen: die x-Koordinate der Extrempunkte in f einsetzen.

Beispiel 1. Extrem- und Wendepunkt bestimmen

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^3-3x$.

Extrempunkte bestimmen:

  1. Finden möglicher Kandidaten für die Extremstelle: $f'(x)=3x^2-3$: $3x^2-3=0$ und daraus folgt $x_0=1$ und $x_1=-1$.

  2. Art der Extremstelle bestimmen: $f''(x)=6x$:

    1. Es gilt $f''(1)=6\cdot 1 =6>0$ also liegt ein Tiefpunkt vor.

    2. Es gilt $f''(-1)=6\cdot (-1) =-6<0$ also liegt ein Hochpunkt vor.

  3. y-Koordinate der Extremstelle bestimmen:

    1. Es gilt $f(1)=1^3-3\cdot 1=-2$, also hat die Funktion f einen Tiefpunkt bei (1,-2).

    2. Es gilt $f(-1)=(-1)^3-3\cdot (-1)=2$, also hat die Funktion f einen Hochpunkt bei (-1,2).

Wendepunkte bestimmen:

  1. Finden möglicher Kandidaten für die Wendepunkte: $f''(x)=6x$: $6x=0$ und daraus folgt $x_0=0$.

  2. Überprüfen der Kandidaten: $f'''(x)=6$: Es gilt $f'''(0)=6\neq 0$ also liegt ein Wendepunkt vor.

  3. y-Koordinate der Extremstelle bestimmen: Es gilt $f(0)=0^3-3\cdot 0=0$, also hat die Funktion f einen Wendepunkt bei (0,0).

Was passiert nun aber, wenn die zweite bzw. dritte an der betrachteten Stelle 0 ergeben. Dann liegt entweder ein Extrem- oder Wendepunkt vor. Um herauszufinden um welchen Fall es sich handelt. Muss die betrachtete Stelle so lange in Höhere Ableitungen eingesetzt werden, bis zum ersten Mal eine Zahl ungleich Null heraus kommt. Die Ordnung der Ableitung (vierte, fünfte, sechste, … Ableitung) gibt nun Auskunft darüber. Handelt es sich um eine ungerade Ordnung, so liegt ein Wendepunkt vor. Handelt es sich um eine gerade Ordnung, so liegt ein Extrempunkt vor. Ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt kann an der Zahl ungleich Null, die beim Einsetzen herauskam abgelesen werden. Ist die Zahl negativ, so liegt ein Hochpunkt vor. Ist die Zahl positiv, so liegt ein Tiefpunkt vor.

Beispiel 2. Zwei Sonderfälle

Bei den beiden Funktionen $f(x)=x^6$ und $g(x)=x^7$ werden an der Stelle x=0, die erste, zweite und dritte Ableitung gleich Null. Für die weiteren Ableitungen gilt:

$f(x)=x^6$

$g(x)=x^7$

$f'(0)=0$

$g'(0)=0$

$f''(0)=0$

$g''(0)=0$

$f'''(0)=0$

$g'''(0)=0$

$f^{(4)}(0)=0$

$g^{(4)}(0)=0$

$f^{(5)}(0)=0$

$g^{(5)}(0)=0$

$f^{(6)}(0)=720$

$g^{(6)}(0)=0$

$f^{(7)}(0)=5040$

Da es sich bei der Funktion f um eine Ableitung gerader Ordnung (sechs) handelt, die zum ersten Mal ungleich 0 ist, liegt ein Extrempunkt an der Stelle x=0 vor. Da die sechste Ableitung an der Stelle 0 gerade 720 ist und diese Zahl positiv ist, handelt es sich um einen Tiefpunkt. Da es sich bei der Funktion g um eine Ableitung ungerade Ordnung (sieben) handelt, die zum ersten Mal ungleich 0 ist, liegt ein Wendepunkt an der Stelle x=0 vor.