1. Anwendungskontext
Aus einem Papier soll eine möglichst große (Volumen), nach oben offene Schachtel hergestellt werden. Dazu werden aus dem 2 auf 3 Zentimeter großen Papier vier kleine Quadrate aus den Ecken ausgeschnitten und die Seiten anschließend nach oben geklappt. Welches Volumen hat die Schatel?
2. Lernziele
Am Ende dieses Lernmoduls können Lernende…
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… an einem selbstgewählten Beispiel erklären, wie man Extrem- und Wendepunkte einer Funktion berechnet.
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… die Extrem- und Wendepunkte geeigneter Funktionen bestimmen.
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… Extremwertproblemen mit Hilfe von Funktionen modellieren und diese mit Hilfe von Extrempunkten lösen.
4. Tipps & Tricks
Beim Lesen mathematischer Texte ist es oft hilfreich sich Skizzen von den geschilderten Sachverhalten anzufertigen. Im Lernmodul wurde auf die Anfertigung von Skizzen zur Herleitung der Verfahren verzichtet um Ihnen eine Möglichkeit zu geben, dieses Verfahren zu üben. Meine Skizze zur Herleitung können Sie sich hier anschauen:
5. Wissenskontrolle
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6. Zurück zum Anfang
Aus einem Papier soll eine möglichst große (Volumen), nach oben offene Schachtel hergestellt werden. Dazu werden aus dem 2 auf 3 Zentimeter großen Papier vier kleine Quadrate aus den Ecken ausgeschnitten und die Seiten anschließend nach oben geklappt. Welches Volumen hat die Schatel?
Skizze:
Formel: Quader $V=b\cdot l \cdot h$, wobei b,l und h die Breite, die Länge und die Höhe des Quaders ist.
Beziehungen: Die Breite b lässt sich ausdrücken als $2-2x$, die Länge l lässt sich ausdrücken als $3-2x$ und die Höhe h lässt sich durch $x$ ausdrücken.
Funktion: \begin{eqnarray*} V(x)&=&(2-2x)(3-2x)x \\ &=&6x-4x^2-6x^2+4x^3\\ &=&4x^3-10x^2+6x \end{eqnarray*}
Ableitungen: \begin{eqnarray*} &&V'(x)=12x^2-20x+6\\ &&V''(x)=24x-20 \end{eqnarray*}
Mögliche x-Koordinaten der Extrempunkte bestimmen: \begin{eqnarray*} &&12x^2-20x+6=0\\ &&x_{1,2}=\frac{20\pm\sqrt{20^2-4\cdot 12 \cdot 6}}{2\cdot 12}=\frac{20 \pm 4\sqrt{7}}{24}=\begin{cases} 1,3 \\ 0,4\end{cases} \end{eqnarray*}
Überprüfung der Extrempunkte: \begin{eqnarray*} V''(1,3)=24\cdot 1,3-20>0 \quad Mimimum\\ V''(0,4)=24 \cdot 0,4-20<0 \quad Maximum \end{eqnarray*}
Frage beantworten: Das Volumen der Schatel beträgt $V(0,4) \approx 1,1cm^3$.
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