Aus der Definition ergibt sich sofort, dass jede Funktion auch eine Relation ist. Relationen und Funktionen können als eine Art Blackbox betrachtet werden. In die Blackbox wird ein Element aus D hineingeworfen und anschließend kommt ein Element aus Z heraus. Bei Relationen kann es sein, dass bei gleicher Eingabe jeweils ein anderes Element herauskommt. Bei einer Funktion muss bei gleicher Eingabe auch immer das gleiche Element ausgegeben werden. Das was in der Blackbox passiert wird durch die Relations- bzw. Funktionsvorschrift erläutert.
Ist keine Definitions- und/oder Zielmenge angegeben ist immer die größtmögliche sinnvolle Menge gemeint. Die Wertemenge ist immer eine Teilmenge der Zielmenge. Anstatt Definitions-, Ziel- und Wertemenge wird oft auch von Definitions- und Ziel- und Wertebereich gesprochen.
Üblich ist die Variable x für Elemente aus der Definitionsmenge und die Variable y für Elemente aus der Zielmenge. Bei Funktionen wird auch f(x) anstelle des y geschrieben. Der Ausdruck f(3)=5 besagt dann, dass das Element 3 aus der Definitionsmenge dem Element 5 aus der Zielmenge zugeordnet wird.
Werden verschiedene Elemente aus der Definitionsmenge gemeinsam mit "ihrem" Element aus der Zielmenge in eine Tabelle notiert, so wird diese Tabelle auch Wertetabelle der Funktion genannt. Mit Hilfe der Wertetabelle kann dann ein erster Eindruck des Graphs der Funktion gewonnen werden. Dazu werden die Elemente aus der Definitionsmenge gemeinsam mit "ihrem" Element aus der Zielmenge als Punkt gezeichnet. Die Werte aus der Definitionsmenge werden dabei üblicherweise an der horizontalen Achse und die Elemente aus der Zielmenge auf der vertikalen Achse abgetragen.
Entscheiden Sie welche der gegebenen Relationen Funktionen sind.
- an Hand der Graphen
-
Der erste Graph stellt "nur" eine Relation da. Definitions- und Zielmenge sind jeweils das Intervall [1,7]. Das heißt jede Zahl zwischen 1 (inklusive) und 7 (inklusive) wird auf eine Zahl zwischen 1 (inklusive) und 7 (inklusive) abgebildet. Jedoch gibt es Zahlen (jede Zahl zwischen 1 (exklusive) und 7 (exklusive)) die auf zwei andere Zahlen abgebildet wird.
Der zweite und dritte Graph stellt jeweils eine Funktion da.
- an Hand der Relationsvorschrift
-
\begin{eqnarray*} y=\pm x \end{eqnarray*}
Hier handelt es sich "nur" um eine Relation. Zu jedem x aus der Definitionsmenge (außer der 0) gibt es zwei ys aus dem Zielbereich. Beispielsweise gehören zu x=3 sowohl y=3 als auch y=-3. Würde die Relationsvorschrift abgeändert zu y=x oder zu y=-3 würde es sich um eine Funktion handeln.
\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\ f(x)=x^2+2 \end{eqnarray*}
Hier handelt es sich um eine Funktion. Definitions- und Zielmenge sind jeweils die reellen Zahlen. Die Wertemenge der Funktion ist das Intervall $[2,\infty)$.
Es gilt beispielsweise $f(-2)=6$, $f(0)=2$ und $f(1)=3$. Die folgende Wertetabelle zur Funktion wäre möglich:
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
f(x) |
11 |
6 |
3 |
2 |
3 |
6 |
11 |
Die Punkte können nun in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden und geben so den ersten Eindruck der Funktion:
Nun wird eine Reihe von Eigenschaften dargestellt, die Funktionen möglicherweise besitzen können. Wichtig ist hierbei nicht die exakte mathematische Definition, sondern dass Sie verstehen, was die Eigenschaft bedeutet. Sie sollten jede Eigenschaft an Hand eines selbstgezeichneten Beispiels erklären können und bei gegebenen Funktionsgraphen die Eigenschaften bestimmen bzw. einzeichnen können.
| Eigenschaft | verbale Erklärung | graphische Erklärung/Beispiel | Berechnung | Anmerkung |
|---|---|---|---|---|
y-Achsenabschnitt |
Der Punkt an der die Funktion die y-Achse schneidet. |
|
$x=0$ einsetzen |
Wie viele y-Achsenabschnitte kann eine Funktion haben? |
Nullstellen |
Die Punkte an denen die Funktion die x-Achse schneidet. |
|
$f(x)=0$ setzen und nach $x$ auflösen |
Wie viele Nullstellen kann eine Funktion haben? |
Monoton steigend |
Der Funktionswert wird immer größer (wenn x größer wird). |
|
$f(x_1)\leq f(x_2)$ wenn $x_1<x_2$ |
|
Monoton fallend |
Der Funktionswert wird immer kleiner (wenn x größer wird). |
|
$f(x_1)\geq f(x_2)$ wenn $x_1<x_2$ |
|
Achsensymmetrie |
Ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse? |
|
Gilt $f(x)=f(-x)$? |
Kann eine Funktion symmetrisch zur x-Achse sein? |
Punktsymmetrie |
Ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung? |
|
Gilt $f(x)=-f(-x)$? |
|
Hochpunkt |
Bergspitze |
|
mit Hilfe der Ableitung |
Kann eine Funktion mehrere Hochpunkte haben? Ein Hochpunkt ist ein Extrempunkt. |
Tiefpunkt |
Talsohle |
|
mit Hilfe der Ableitung |
Kann eine Funktion mehrere Tiefpunkte haben? Ein Tiefpunkt ist ein Extrempunkt. |
Wendepunkt |
Wird der Graph mit dem Motorrad abgefahren, die Stelle an der von links nach rechts oder von rechts nach links gelenkt wird. |
|
mit Hilfe der Ableitung |
ungefähres Einzeichnen genügt |
Injektiv |
Zu jedem Element aus dem Zielbereich gehört höchstens ein Element des Definitionsbereiches. |
|
aus $f(x_1)=f(x_2)$ folgt $x_1=x_2$ |
Eine Funktion ist injektiv, wenn man den Graphen der Funktion um 90° dreht und dann eine Funktion (und keine Relation) hat. |
Surjektiv |
Zielmenge gleich Wertemenge |
|
Zielmenge und Wertemenge berechnen |
